Variação mínima e máxima de 2 iid Normal

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Deixei $X$ e $Y$ seja iid $\sim Normal(0,1)$

Deixei $A=max(X,Y)$ e $B=min(X,Y)$

O que são $Var(A)$ e $Var(B)$ ?

A partir da simulação, recebo $Var(A)=Var(B)$ aproximadamente 0,70.

Como obtenho isso analiticamente?

self-study variance maximum iid minimum user164144
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Respostas:

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Se você pode se convencer de que

max (X, Y) \overset{d}{=} - min (X, Y),

$\max(X,Y) \overset{d}{=} -\min(X,Y),$ tomar a variação de ambos os lados lhe dará sua resposta.

Em relação à outra parte, você provavelmente terá que se integrar manualmente.

Taylor
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A expressão que você forneceu implica que Var (A) = Var (B) e, com isso, eu posso calcular as variações individuais já da equação . Eu recebo 0,68 disso, o que acho que está próximo o suficiente da resposta simulada.

V a r (A) + V a r (B) = 2 - \frac{2}{π}

$Var(A)+Var(B)=2-\frac{2}{\pi}$

precisa saber é o seguinte

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Também acabei de ler que a expressão que você forneceu geralmente é . Só para esclarecer, o negativo para -f não é relevante no meu caso, pois X e Y têm média 0, correto?

m a x (f) = - m i n (- f)

$max(f)=-min(-f)$

precisa saber é o seguinte

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@ user164144 sim está certo, mas a segunda parte é mais do que isso. por álgebra, lógica, independência, simetria, respectivamente. Então você pode fazer algo semelhante para o outro cara, e verá que o cdf é o mesmo.

P (- min (X, Y) \leq a) = P (min (X, Y) \geq - a)

$P(-\min(X,Y)\le a) = P(\min(X,Y)\ge -a)$

= P (X \geq - a, Y \geq - a) = P (X \geq - a) P (Y \geq - a) = P (X \leq a) P (Y \leq a)

$= P(X \ge -a, Y \ge -a) = P(X \ge -a)P(Y \ge -a) = P(X \le a) P(Y \le a)$

Taylor

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Fazendo isso da maneira mais longa, que generaliza para mais de 2 iid Normais, eis os cálculos integrais em MAPLE:

$EA^2 =$

2*int(z^2*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

que é igual a 1.

$EA =$

2*int(z*1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..z)*1/sqrt(2*Pi)*exp(-z^2/2),z=-infinity..infinity);

que é igual a . $1/\sqrt{\pi}$

Portanto, Var (A) = 0,68169 ... o que concorda com a minha simulação. $1-1/\pi =$

Obviamente, Var (B) é idêntico.

Mark L. Stone
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Considere o caso normal padrão (já que é trivial generalizar). Seja . $Z = \max(X,Y)$

$F_Z(z)=P(\max(X,Y)\leq z) = P(X\leq z,Y\leq z) = \Phi(z)^2$

portanto, obtenha por diferenciação. $f_Z(z)$

Quanto à expectativa, observe o seguinte:

$\frac{d}{dx} \phi(x)\Phi(x) = -x\phi(x)\Phi(x) + \phi(x)^2$

Observe também que pode ser escrito em termos de para algumas constantes e . A partir daí, você deve ser capaz de mostrar que $\phi(x)^2$ $a\phi(bx)$ $a$ $b$

$\int x\phi(x)\Phi(x)\,dx={\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Phi(x\sqrt{2})-\phi(x)\Phi(x)+C$
(caso contrário, mostre-o por diferenciação ...)

E tomando derivadas de você poderá usar os resultados anteriores para chegar a . $x\phi(x)\Phi(x)$ $E(Z^2)$

.... Ou apenas use a tabela de integrais definidas aqui: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_Gaussian_functions#Definite_integrals

com um pouco de manipulação, acho que você pode fazer a expectativa e a variação a partir daí.

Glen_b -Reinstate Monica
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