Se , encontre a distribuição de .
Temos
Eu me pergunto se a distinção do caso acima está correta ou não.
Por outro lado, o seguinte parece um método mais simples:
Podemos escrever usando a identidade2 tan z
Agora,
, o último sendo uma transformação 2-para-1.
Mas se me pedem para derivar a distribuição de da definição, acho que o primeiro método é como devo proceder. O cálculo se torna um pouco confuso, mas chego à conclusão correta? Qualquer solução alternativa também é bem-vinda.
As Distribuições Univariadas Contínuas (Vol.1) de Johnson-Kotz-Balakrishnan destacaram essa propriedade da distribuição de Cauchy. Como se vê, esse é apenas um caso especial de resultado geral.
Respostas:
Uma maneira alternativa, mais simplista, de ver:
distribuição padrão de Cauchy:
transformações de variáveis:
transformação da distribuição:
Se você trabalha com isso, que não precisa se tornar tão bagunçado, você terá
representação gráfica
Esse tipo de funciona como a identidade , mas escrito de forma mais explícita.2 tanz1 - bronzeado2z= tan2 z
Ou como sua representação com a função de distribuição cumulativa dividida mas agora para uma divisão em .FY( y) = Pr ( Y≤ y) fY( y) = Pr ( y- 12dy≤ Y≤ y+ 12dy)
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A transformação na segunda abordagem parece falta de motivação (alguns detalhes também precisam ser preenchidos). Aqui, pelo cálculo da função característica, estou tentando fazer backup da sua transformação "misteriosa".
A função característica de pode ser calculada da seguinte forma: que nos sugere tentar a transformação , que leva aY
Nosso objetivo é mostrar que a integral em é igual à função característica de uma variável aleatória padrão Cauchy :( 1 ) X
Por que a integral em igual à integral em ? À primeira vista, isso é um pouco contra-intuitivo. Para verificar isso, precisamos tratar a monotonicidade da função cuidado. Vamos continuar trabalhando :( 1 ) ( 2 ) bronzeado( ⋅ ) ( 1 )
As etapas - elaboraram a declaração "a última sendo uma transformação de 2 para 1" na pergunta do OP.( 3 ) ( 5 )
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