Qual é a justificativa do uso de aproximações de taylor dentro dos operadores de expectativa?

Às vezes, vejo as pessoas usarem a aproximação de taylor da seguinte maneira:

$$E(e^x)\approx E(1+x)$$

Eu sei que a aproximação de taylor funciona para

$$e^x \approx 1+x$$

Mas não está claro para mim que podemos fazer a aproximação dentro do operador de expectativa. Intuitivamente, acho que funcionará se "a probabilidade de que for muito maior que 0 for pequena", mas não tenho certeza de quão rigoroso isso seja.$x$

Edit : Estou ainda mais confuso quando temos uma expectativa de uma função:

$$E(f(e^x))\overset ?\approx E(f(1+x))$$

Para seu exemplo específico, a aproximação de Taylor de primeira ordem em torno de , portanto$x_0=0, e^x = e^0 +e^0x+R_1 = 1+x+R_1$

$$E(e^x) = E(1+x) + E(R_1)$$

Portanto, a pergunta é "o que podemos dizer sobre ? Bem, não sabemos o quanto gostaríamos sobre o significado da aproximação de Taylor , sobre o comportamento do restante. $E(R_1)$

Veja este exemplo de por que o restante é uma coisa traiçoeira, mas também sugiro que leia o tópico muito estimulante, Tomando a expectativa da série Taylor (especialmente o restante) sobre o assunto.

Um resultado interessante na regressão linear é o seguinte: assuma que temos o verdadeiro modelo não linear

$$y_i = m(\mathbf x_i) + e_i$$

onde é a função de expectativa condicional, e, portanto, pela construção .$m(\mathbf x_i)$$E(y_i\mid \mathbf x_i) = m(\mathbf x_i)$$E(e_i \mid \mathbf x_i) = 0$

Considere a aproximação de Taylor de primeira ordem especificamente em torno de$E(\mathbf x_i)$

$$y_i = \beta_0+\mathbf x_i'\beta + u_i, \;\;\;u_i = R_{1i} + e_i$$

onde é o restante Taylor da aproximação, os betas são as derivadas parciais da função não linear em relação aos avaliados em , enquanto o termo constante coleta todos os outros coisas fixas da aproximação (a propósito, essa é a razão pela qual a) somos informados "sempre inclua uma constante na especificação", mas que b) a constante está além da interpretação significativa na maioria dos casos).$R_{1i}$$\mathbf x_i$$E(\mathbf x_i)$

Então, se aplicarmos a estimativa de Mínimos Quadrados Ordinários, obteremos que o Remanescente de Taylor não será criado para os regressores, e também . O primeiro resultado implica que as propriedades do estimador OLS para os betas não são afetadas pelo fato de termos aproximado a função não linear por sua aproximação de Taylor de primeira ordem. O segundo resultado implica que a aproximação é ótima sob o mesmo critério para o qual a expectativa condicional é o preditor ideal (erro quadrático médio, aqui o restante quadrático médio). $E(R_{1i}\mathbf x_i) = E(R_{1i})E(\mathbf x_i)$$E(R_{1i}^2) = \min$

Ambas as premissas são necessárias para esses resultados, a saber, que tomemos a expansão de Taylor em torno do valor esperado dos regressores e que utilizemos o OLS.

Uma situação em que isso é usado é assintótica.

Por exemplo, suponha e é uma função suave. Então onde significa convergência na distribuição (também chamada convergência na lei). Com efeito, estamos excluindo os termos de ordem superior na expansão e tratando-o como Escreve-se $\dfrac{X_n-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$$g$

$$\frac{g(X_n)-g(\mu)}{\left|g'(\mu)\right|\sigma/\sqrt n} \overset{\mathcal L} \longrightarrow N(0,1) \text{ as } n\to\infty,$$ $\text{“} \overset{\mathcal L} \longrightarrow \text{''}$ $$g(x) = g(\mu) + g'(\mu)(x-\mu) + \frac{g''(\mu)} 2 (x-\mu)^2 + \frac{g'''(\mu)} 6 (x-\mu)^3 + \cdots$$ $$g(x) \approx g(\mu) + g'(\mu)(x-\mu).$$ $$g(X_n) \sim AN\left( g(\mu), \frac{g'(\mu)^2\sigma^2} n \right)$$ $\text{“}AN\text{''}$ significa" assintoticamente normal ".