Distribuição de quando e são iid com pdf

Estou trabalhando no seguinte problema:

Sejam e variáveis aleatórias independentes com densidade comum que . Seja e . Localizar a densidade de conjunta de e, portanto, encontrar o pdf de . $X$ $Y$ $f(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}$ $\alpha\geqslant1$ $U=\min(X,Y)$ $V=\max(X,Y)$ $(U,V)$ $U+V$

Como $U+V=X+Y$ , posso simplesmente encontrar o pdf de $X+Y$ para ver qual deve ser o pdf de $U+V$

Eu recebo o pdf de $T=X+Y$ para ser

\begin{matrix} (1) & f_{T} (t) = \int f (t - y) f (y) d y = α^{2} β^{- 2 α} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} \end{matrix}

$f_T(t)=\int f(t-y)f(y)\,\mathrm{d}y=\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}\tag{1}$

Não tenho certeza se essa integral pode ser simplificada.

Voltando à questão real, o pdf conjunto de $(U,V)$ é dado por

f_{U, V} (u, v) = 2 f (u) f (v) 1_{0 < u < v < β} = 2 α^{2} β^{- 2 α} (u v)^{α - 1} 1_{0 < u < v < β}

$f_{U,V}(u,v)=2f(u)f(v)\mathbf1_{0<u<v<\beta}=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}(uv)^{\alpha-1}\mathbf1_{0<u<v<\beta}$

Fiz uma mudança de variáveis $(U,V)\to(W,Z)$ , onde $W=U+V$ e $Z=U$ . O valor absoluto de jacobiano é a unidade. Além disso, $0<u<v<\beta\implies 0<z<\frac{w}{2}<\beta$ . Um pdf tão marginal de $W$ é

\begin{matrix} (2) & f_{W} (w) = 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z 1_{0 < w < 2 β} \end{matrix}

$f_W(w)=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}\,\mathbf1_{0<w<2\beta}\tag{2}$

É possível que eu tenha cometido algum erro nos suportes adequados das variáveis aleatórias. Também é possível que a integral não tenha uma solução em termos de funções elementares. De qualquer forma, não pude prosseguir com a integral. Por isso, não pode ainda verificar que tem o mesmo pdf como . Parece que eu estou recebendo diferentes distribuições de e . E, por curiosidade, a distribuição de tem um nome (nesse caso, eu teria procurado a convolução de duas dessas variáveis aleatórias)? $W=U+V$ $T=X+Y$ $W$ $T$ $X$

Editar.

Prosseguindo com a última integral que recebo manualmente

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = w^{2 α - 1} \int_{0}^{1 / 2} t^{α - 1} (1 - t)^{α - 1} d t = w^{2 α - 1} I_{1 / 2} (α, α) B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=w^{2\alpha-1}\int_0^{1/2}t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{dt}=w^{2\alpha-1}I_{1/2}(\alpha,\alpha)B(\alpha,\alpha)$ onde é a função beta incompleta regularizada. Usando a propriedade , obtemos . Então, finalmente, temos

I_{x}

$I_{x}$

I_{x} (a, b) = 1 - I_{1 - x} (b, a)

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

I_{1 / 2} (α, α) = \frac{1}{2}

$I_{1/2}(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}$

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = \frac{1}{2} w^{2 α - 1} B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=\frac{1}{2}w^{2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)$

Isso implica que

f_{W} (w) = α^{2} β^{- 2 α} B (α, α) w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f_W(w)=\alpha^2\beta^{-2\alpha}B(\alpha,\alpha)w^{2\alpha-1}\mathbf1_{0<w<2\beta}$

Que essa não é uma densidade no intervalo dado de é facilmente vista. Então, sinto que cometi um grande erro em algum lugar. Verifiquei meus cálculos com o Mathematica e eles parecem concordar. $w$

self-study distributions mathematical-statistics random-variable Teimoso
fonte

@ Xi'an E a soma de variáveis beta independentes não tem um formato PDF fechado, talvez?

StubbornAtom

@ Xi'an Então, sinto que não há nada errado se terminar minha resposta com essa integral, independentemente de ela ter uma forma fechada em termos de alguma função especial ou não?

StubbornAtom

Como uma generalização de stats.stackexchange.com/questions/41467 (o caso em que ), essa pergunta provavelmente pode ser resolvida usando uma ou mais das várias técnicas explicadas nesse segmento.

α = 1

$\alpha=1$

whuber

Eu disse erroneamente que , quando é suficiente para que seja uma densidade válida. Isso às vezes é chamado de distribuição de função de potência . Para é uma densidade beta, e para é uma densidade uniforme.

α > 1

$\alpha>1$

α > 0

$\alpha>0$

f

$f$

β = 1

$\beta=1$

α = 1

$\alpha=1$

precisa

Respostas:

Como temos ( ) e por uma mudança da variável na segunda integral do rhs Da mesma forma, quando

\begin{aligned} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} & = {\begin{cases} \int_{0}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y & when 0 \leq t \leq β \\ \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & when β \leq t \leq 2 β \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}&=\begin{cases} \int_{0}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }0\le t\le \beta\\ \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }\beta\le t\le 2\beta\\ \end{cases}\\ \end{align}$

t < β

$t<\beta$

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= \int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

z = t - y

$z=t-y$

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = 2 \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= 2\int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

t > β

$t>\beta$ , novamente por uma alteração da variável na segunda integral do rhs. No entanto, sou incapaz de recuperar a mesma expressão funcional para a densidade neste segundo caso , ou seja,

\begin{aligned} \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & = \int_{t - β}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \\ = 2 \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&= \int_{t-\beta}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\\ &=2\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y \end{align*}$

z = t - y

$z=t-y$

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z$

Agora, como apontado na pergunta, por uma mudança de escala, o que implicaria que a distribuição de interesse tenha a densidade que o transforma em uma distribuição Beta redimensionada em , portanto, com densidade

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z \propto w^{2 (α - 1) + 1} = w^{2 α - 1}

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z \propto w^{2(\alpha-1)+1}=w^{2\alpha-1}$

f (w) \propto w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w)\propto w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

B (2 α, 1)

${\cal B}(2\alpha,1)$

(0, 2 β)

$(0,2\beta)$

f (w) = {2 β}^{- 2 α} \frac{Γ (2 α + 1)}{Γ (2 α)} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β} = 2 α {2 β}^{- 2 α} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w) = \{2\beta\}^{-2\alpha}\dfrac{\Gamma(2\alpha+1)}{\Gamma(2\alpha)}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}=2\alpha\{2\beta\}^{-2\alpha}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

Isso vem como uma contradição quando se considera a resposta inacreditavelmente detalhada de W. Huber , uma vez que os uniformes são beta . E como a soma de dois uniformes não é uma variável aleatória Beta , mas sim um rv com densidade de "tenda". ${\cal B}(1,1)$ ${\cal B}(2,1)$

Além disso: Geralmente, uma soma de variáveis Beta não é outra variável Beta, sendo a "explicação" direta quando se olha para Betas como dois Gammas normalizados por sua soma. A adição de dois Betas vê somas diferentes no denominador.

O problema é, portanto, com a derivação da densidade de : uma vez que uma mudança de variáveis leva a e as restrições do indicador são Portanto, em conclusão, saber (1) e não a expressão proposta (2). $W=U+V$

(U, V) \sim 2 α β^{- 2} [u v]^{α - 1} I_{0 < u < v < β}

$(U,V) \sim 2\alpha \beta^{-2}[uv]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<u<v<\beta}$

(Z, W) = (U, U + V)

$(Z,W)=(U,U+V)$

(Z, W) \sim 2 α β^{- 2} [z (w - z)]^{α - 1} I_{0 < z < w - z < β}

$(Z,W) \sim 2\alpha \beta^{-2}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<z<w-z<\beta}$

0 < z 2 z < w z < β z > w - β 0 < w and w < 2 β

$0<z \quad 2z<w \quad z<\beta \quad z>w-\beta \quad 0<w \quad\text{and}\quad w<2\beta$

W \sim 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{max {0, w - β}}^{min {β, w / 2}} [z (w - z)]^{α - 1} d z I_{0 < w < 2 β}

$W\sim 2\alpha^2 \beta^{-2\alpha}\int_{\max\{0,w-\beta\}}^{\min\{\beta,w/2\}}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\text{d}z\,\mathbb{I}_{0<w<2\beta}$

Xi'an
fonte

Era isso que eu estava perguntando se concorda ou não com (1). Você provavelmente precisa adicionar as constantes ausentes em e também. Obrigado, não admira que eu estivesse obtendo todos esses resultados estranhos.

(Z, W)

$(Z,W)$

(U, V)

$(U,V)$

StubbornAtom