Independência das estatísticas da distribuição gama

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Seja uma amostra aleatória da distribuição gama .X1,...,XnGamma(α,β)

Seja e a média e a variação da amostra, respectivamente.X¯S2

Em seguida, prove ou refute que e são independentes.X¯S2/X¯2


Minha tentativa: Desde , precisamos verificar a independência de e , mas como devo estabelecer a independência entre eles?S2/X¯2=1n1i=1n(XiX¯1)2X¯(XiX¯)i=1n

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Considere o Laplace joint transformar da soma eo vetor de proporções . Este é ; você pode mostrar que este é o produto de uma função de função de . U:=iXiWWi:=Xi/UE{exp[tUzW]}tz
Yves
@Yves Você pode verificar minha resposta postada abaixo?
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Respostas:

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Há uma demonstração atraente, simples e intuitivamente óbvia para integralα. Baseia-se apenas em propriedades conhecidas da distribuição uniforme, distribuição gama, processos de Poisson e variáveis ​​aleatórias e é assim:

  1. Cada é o tempo de espera até que ocorram pontos de um processo de Poisson. αXiα

  2. A soma é, portanto, o tempo de espera até que pontos desse processo ocorram. Vamos chamar esses pontos de n α Z 1 , Z 2 , , Z n α .Y=X1+X2++XnnαZ1,Z2,,Znα.

  3. Condicionais em , os primeiros pontos são independentemente distribuídos uniformemente entre en α - 1 0 Y .Ynα10Y.

  4. Portanto, as razões são independentemente distribuídas uniformemente entre e Em particular, suas distribuições não dependem de0 1. Y .Zi/Y, i=1,2,,nα101.Y.

  5. Consequentemente, qualquer função (mensurável) do é independente deY .Zi/YY.

  6. Entre essas funções estão (onde os colchetes denotam as estatísticas da ordem do ).

    X1/Y=Z[α]/YX2/Y=Z[2α]/YZ[α]/YXn1/Y=Z[(n1)α]/YZ[(n2)α]/YXn/Y=1Z[(n1)α]/Y
    []Zi

Neste ponto, observe que pode ser escrito explicitamente como uma função (mensurável) do e, portanto, é independente deS2/X¯2Xi/YX¯=Y/n.

whuber
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Você deseja provar que a média e o rv.s são independentes ou equivalentemente que a soma e as relações são independente. Podemos provar um resultado um pouco mais geral assumindo que o possua formas diferentes , mas a mesma escala que pode ser assumida como .X¯nXi/X¯U:=XinWi:=Xi/UXiαiβ>0β=1

Considere a transformação conjunta de Laplace de e ie, Expressa como uma integral dimensional sobre que a constante é relativa a . Se introduzirmos novas variáveis ​​sob o sinal integral, definindo UW=[Wi]i=1n

ψ(t,z):=E{exp[tUzW}=E{exp[tiXiiziXiU]}
n(0,)n
Cstexp[(1+t)(x1++xn)z1x1++znxnx1++xn]x1α11xnαn1dx
xy:=(1+t)x , vemos facilmente que a integral pode ser escrita como um produto de duas funções, uma dependendo de a outra dependendo do vetor . Isso prova que e são independentes.tzUW

Isenção . Esta questão está relacionada ao teorema de Lukacs sobre independência de soma proporcional , daí ao artigo de Eugene Lukacs A Characterization of the Gamma Distribution . Acabei de extrair aqui a parte relevante deste artigo (ou seja, p. 324), com algumas mudanças nas notações. Também substituí o uso da função característica pela da transformada de Laplace para evitar alterações de variáveis ​​envolvendo números complexos.

Yves
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(+1) Para o artigo sobre a caracterização da distribuição gama.
StubbornAtom
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Seja . Observe que é uma estatística auxiliar de , ou seja, sua distribuição não depende de . ( X i / L ) i p pU=iXi(Xi/U)iββ

Como é uma estatística suficientemente completa de , é independente de pelo teorema de Basu, portanto a conclusão segue.β ( X i / U ) iUβ(Xi/U)i

Não tenho certeza da construção da estatística auxiliar, pois ela é apenas independente de , não .αβα

bellcircle
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Boa. O teorema pode ser invocado com considerado fixo, considerando um modelo estatístico de um parâmetro. α
Yves