Seja uma amostra aleatória da distribuição gama .
Seja e a média e a variação da amostra, respectivamente.
Em seguida, prove ou refute que e são independentes.
Minha tentativa: Desde , precisamos verificar a independência de e , mas como devo estabelecer a independência entre eles?
self-study
distributions
independence
gamma-distribution
bellcircle
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Respostas:
Há uma demonstração atraente, simples e intuitivamente óbvia para integralα. Baseia-se apenas em propriedades conhecidas da distribuição uniforme, distribuição gama, processos de Poisson e variáveis aleatórias e é assim:
Cada é o tempo de espera até que ocorram pontos de um processo de Poisson. αXi α
A soma é, portanto, o tempo de espera até que pontos desse processo ocorram. Vamos chamar esses pontos de n α Z 1 , Z 2 , … , Z n α .Y=X1+X2+⋯+Xn nα Z1,Z2,…,Znα.
Condicionais em , os primeiros pontos são independentemente distribuídos uniformemente entre en α - 1 0 Y .Y nα−1 0 Y.
Portanto, as razões são independentemente distribuídas uniformemente entre e Em particular, suas distribuições não dependem de0 1. Y .Zi/Y, i=1,2,…,nα−1 0 1. Y.
Consequentemente, qualquer função (mensurável) do é independente deY .Zi/Y Y.
Entre essas funções estão (onde os colchetes denotam as estatísticas da ordem do ).
Neste ponto, observe que pode ser escrito explicitamente como uma função (mensurável) do e, portanto, é independente deS2/X¯2 Xi/Y X¯=Y/n.
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Você deseja provar que a média e o rv.s são independentes ou equivalentemente que a soma e as relações são independente. Podemos provar um resultado um pouco mais geral assumindo que o possua formas diferentes , mas a mesma escala que pode ser assumida como .X¯ n Xi/X¯ U:=∑Xi n Wi:=Xi/U Xi αi β>0 β=1
Considere a transformação conjunta de Laplace de e ie, Expressa como uma integral dimensional sobre que a constante é relativa a . Se introduzirmos novas variáveis sob o sinal integral, definindoU W=[Wi]ni=1
Isenção . Esta questão está relacionada ao teorema de Lukacs sobre independência de soma proporcional , daí ao artigo de Eugene Lukacs A Characterization of the Gamma Distribution . Acabei de extrair aqui a parte relevante deste artigo (ou seja, p. 324), com algumas mudanças nas notações. Também substituí o uso da função característica pela da transformada de Laplace para evitar alterações de variáveis envolvendo números complexos.
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Seja . Observe que é uma estatística auxiliar de , ou seja, sua distribuição não depende de . ( X i / L ) i p pU=∑iXi (Xi/U)i β β
Como é uma estatística suficientemente completa de , é independente de pelo teorema de Basu, portanto a conclusão segue.β ( X i / U ) iU β (Xi/U)i
Não tenho certeza da construção da estatística auxiliar, pois ela é apenas independente de , não .αβ α
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