Como você está lidando com dados normais do IID, vale a pena generalizar um pouco o problema para analisar o caso em que você possui e deseja . (Sua pergunta corresponde ao caso em que ) Como outros usuários apontaram, a soma dos quadrados das variáveis aleatórias normais do IID é uma variável aleatória qui-quadrado não centralizada em escala e, portanto, a variação de interesse pode ser obtida do conhecimento dessa distribuição. No entanto, também é possível obter a variação necessária usando regras ordinárias de momento, combinadas com o conhecimento dos momentos da distribuição normal . Vou mostrar como fazer isso abaixo, em etapas.X1 1, . .. , Xn∼ IDI N ( a , b2)Qn≡ V ( ∑ni = 1X2Eu)n = 2
Localizando a variação usando momentos da distribuição normal: Como os valores são IID (e considerando como um valor genérico dessa distribuição), você tem: em que momentos brutos como . Esses momentos brutos podem ser escritos em termos dos momentos centrais e a média usando X Q n ≡ V ( n ∑ i = 1 X 2 i )X1 1, . . . , XnX μ ′ k ≡E(Xk)μk≡E((X-E(X))k)μ ′ 1 =E(X)
Qn≡ V ( ∑i = 1nX2Eu)= ∑i = 1nV ( X2Eu)= n V ( X2)= n ( E ( X4) - E ( X2)2)= n ( μ′4- μ′ 22) ,
μ′k≡ E ( Xk)μk≡ E ( ( X- E ( X) ))k)μ′1 1= E ( X)fórmulas de conversão padrão , e podemos procurar os momentos centrais da distribuição normal e substituí-los.
Usando as fórmulas de conversão de momento, você deve obter: Para a distribuição , temos e momentos centrais de ordem superior , e . Isso nos dá os momentos brutos:X∼N(a,b2)μ ′ 1 =aμ2=b2μ3=0μ4=3b4 μ ′ 2
μ′2μ′3μ′4= μ2+ μ′ 21 1,= μ3+ 3 μ′1 1μ2+ μ′ 31 1,= μ4+ 4 μ′1 1μ3+ 6 μ′ 21 1μ2+μ′ 41 1.
X∼ N ( a , b2)μ′1 1= aμ2= b2μ3= 0μ4= 3b4μ′2μ′3μ′4= b2+a2,= 3 a b2+ a3,= 3 b4+ 6 a2b2+ a4.
Agora, tente substituí-los novamente na expressão original para encontrar a variação de interesse.
Substituindo de volta a primeira expressão, obtemos: Para o caso especial em que você tem . Pode-se mostrar que esse resultado está de acordo com a solução que você obteria se usasse o método alternativo de derivar seu resultado da distribuição qui-quadrado não central em escala.
Qn= n ( μ′4- μ′ 22)= n [ ( 3 b4+ 6 a2b2+ a4) - ( b2+ a2)2]= n [ ( 3 b4+ 6 a2b2+ a4) - ( b4+ 2 a2b2+ a4) ]= n [ 2 b4+ 4 a2b2]= 2 n b2( b2+ 2 a2) .
n = 2Q2= 4 b2( b2+ 2 a2)
Trabalho alternativo baseado no uso da distribuição qui-quadrado não central: Como , temos:Usando a variação conhecida dessa distribuição, temos: Este resultado corresponde ao resultado acima.XEu/ b∼N(a / b,1)
∑i = 1n( XEub)2~ Não centrais do qui-quadrado ( k = n , λ = n um2b2) .
Qn≡ V ( ∑i = 1nX2Eu)= b4⋅ V ( ∑i = 1n( XEub)2)= b4⋅ 2 ( k + 2 λ )= 2 b4( n+2 n a2b2)= 2 n b2( b2+ 2 a2) .
Se e são variáveis aleatórias independentes, então é uma variável aleatória .Y N ( a , b 2 ) ( X - aX Y N ( a , b2) χ2(2)( X- umb)2+ ( Y- umb)2 χ2( 2 )
Você acha que pode levá-lo de lá?
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A resposta está na distribuição qui-quadrado não central .
Por exemplo, se b = 1, a resposta para sua pergunta é: , onde é o número de componentes ( e ).k = 2 X Y2 ( k + 2 ( a2) )) k = 2 X Y
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