Estimador eficiente a partir de estatística insuficiente

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Suponha que eu tenha uma estatística e sei com certeza que não é suficiente estimar um parâmetro .T(X)θ

Ainda é possível ter um estimador que seja eficiente (com perda convexa) ou existe um teorema (algo como um Rao-Blackwell reverso) que diz que isso é impossível?θ^(T(X))

Você pode responder à pergunta sob a definição de eficiência de atingir CRLB para estimadores imparciais ou um erro quadrático médio calculado sobre a linha real ou se isso ajudará em alguma outra medida de desempenho mais favorável para responder à pergunta.

estimators sufficient-statistics efficiency Cagdas Ozgenc
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Tanto quanto eu entendo, a eficiência entra em jogo após a consistência. Se temos um estimador consistente, estamos interessados ​​em saber com que rapidez esse estimador converge para o parâmetro de interesse (eficiência). Então eu acho que você também pode perguntar se existe um estimador consistente que não é suficiente.
StubbornAtom
@StubbornAtom Eu estava pensando em estimativas de máxima verossimilhança de parâmetros de famílias não exponenciais. Eles não são suficientes, mas assintoticamente consistentes e talvez eficientes. Mas uma vez que dados infinitos envolvidos talvez as coisas sejam diferentes.
Cagdas Ozgenc #
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Não é bem verdade. A família não é exponencial. No entanto, para uma amostra do tamanho desenhada a partir dessa distribuição, é uma estatística suficiente e um estimador consistente para . U(0,θ)nθ^MLE=max1≤i≤nXiθ
StubbornAtom
@StubbornAtom Esse é o caso de suporte em mudança (que é uma exceção ao teorema de Pitman Koopman). Você perdeu o ponto do meu comentário. Basicamente, nem sempre se aplica.
Cagdas Ozgenc #
11
Pensando nisso: para uma amostra de tamanho retirada da distribuição de Cauchy , alguns quantis de amostra, como mediana, são estimadores consistentes de . No entanto, o único conjunto de estatísticas suficientes é a própria amostra ou o conjunto completo de estatísticas de pedidos. Mas acho que li que a mediana da amostra é ineficiente nesse caso. (Relacionado: stats.stackexchange.com/questions/373526/… ). n(θ,1)θ
precisa

Respostas:

1

Como [sob premissas de sua existência], uma estatística mínima suficiente é uma função de uma amostra , um estimador eficiente pode ser escrito como que dificulta a compreensão da pergunta.Sn(X1,…,Xn)

Sn=Sn(X1,…,Xn)
θ^(S)
θ^(S(X1,…,Xn))

Observe que o limite inferior de Cramèr-Rao é alcançado apenas por um estimador eficiente do parâmetro natural no cenário de famílias exponenciais e também que existem muitos casos em que não existe um estimador imparcial de variância mínima uniforme.

Observe também que, fora das famílias exponenciais, os estimadores admissíveis não podem ser suficientes.

Xi'an
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