Limitando a distribuição de que é o seu padrão normal

Seja $(X_n)$ uma sequência de variáveis ​​aleatórias iid $\mathcal N(0,1)$ . Defina $S_0=0$ e $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ para $n\geq 1$ . Encontre a distribuição limitadora de

$$\frac1n \sum_{k=1}^{n}|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$$

Esse problema é de um livro de problemas sobre Teoria da Probabilidade, no capítulo sobre o Teorema do Limite Central.

Como $S_{k-1}$ e $X_k$ são independentes, $E(|S_{k-1}|(X_k^2 - 1))=0$ e

Observe que os $|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$ claramente não são independentes. O problema é do Problems in Probability , de Shiryaev , que é baseado no livro do mesmo autor. O livro não parece cobrir o CLT para variáveis ​​correlacionadas. Não sei se há uma sequência estacionária de mixagem escondida em algum lugar ...

Realizei simulações para ter uma ideia da resposta

import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples

X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)

plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()

Abaixo está um histograma de $2000$ amostras ( $n=20.000$ ). Parece bastante normalmente distribuído ...

Quando eu simulo a distribuição, recebo algo que se assemelha a uma distribuição de Laplace. Ainda melhor parece ser um q-Gausiano (os parâmetros exatos que você teria que encontrar usando a teoria).

Acho que seu livro deve conter alguma variação do CLT relacionada a ele (teorema do limite central generalizado q, provavelmente está na Seção 7.6 O teorema do limite central para somas de variáveis ​​dependentes , mas não posso procurá-lo como eu. não tem o livro disponível).

library(qGaussian)
set.seed(1)
Qstore <- c(0) # vector to store result

n <- 10^6  # columns X_i
m <- 10^2  # rows repetitions

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                     max = 100, style=3)
for (i in 1:100) {  
  # doing this several times because this matrix method takes a lot of memory
  # with smaller numbers n*m it can be done at once

  X <- matrix(rnorm(n*m,0,1),m)
  S <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(X[x,])))
  S <- cbind(rep(0,m),S[,-n])
  R <- abs(S)*(X^2-1)
  Q <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(R[x,])))

  Qstore <- c(Qstore,t(Q[,n]))
  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

# compute histogram 
x <- seq(floor(min(Qstore/n)), ceiling(max(Qstore/n)), 0.2)
h <- hist(Qstore/(n),breaks = x)

# plot simulation
plot( h$mid, h$density, log = "y", xlim=c(-7,7),
      ylab = "log density" , xlab = expression(over(1,n)*sum(abs(S[k-1])*(X[k]^2-1),k==1,n) ) )

# distributions for comparison
lines(x, dnorm(x,0,1),                   col=1, lty=3)      #normal 
lines(x, dexp(abs(x),sqrt(2))/2,         col=1, lty=2)      #laplace
lines(x, qGaussian::dqgauss(x,sqrt(2),0,1/sqrt(2)), col=1, lty=1)      #qgauss

# further plotting
title("10^4 repetitions with n=10^6")
legend(-7,0.6,c("Gaussian", "Laplace", "Q-Gaussian"),col=1, lty=c(3,2,1),cex=0.8)