É fácil produzir uma variável aleatória com distribuição Dirichlet usando variáveis Gamma com o mesmo parâmetro de escala. E se:
Então:
Problema O que acontece se os parâmetros da escala não forem iguais?
Então, qual é a distribuição dessa variável?
Para mim, seria suficiente saber o valor esperado dessa distribuição.
Preciso de uma fórmula algébrica fechada aproximada que possa ser avaliada muito rapidamente por um computador.
Digamos que a aproximação com precisão de 0,01 seja suficiente.
Você pode assumir que:
Nota Em resumo, a tarefa é encontrar uma aproximação dessa integral:
Respostas:
Apenas uma observação inicial, se você deseja velocidade computacional, geralmente precisa sacrificar a precisão. "Mais precisão" = "Mais tempo" em geral. De qualquer forma, aqui está uma aproximação de segunda ordem, que deve melhorar a aproximação "bruta" que você sugeriu no seu comentário acima:
=α j
EDIT Foi solicitada uma explicação para a expansão acima. A resposta curta é a Wikipedia . A resposta longa é dada abaixo.
escreva . Agora precisamos de todos os derivados de "segunda ordem" def. Os derivativos de primeira ordem serão "cancelados" porque todos envolverão múltiplosX-E(X)eY-E(Y)que são zero quando se toma as expectativas.f(x,y)=xy f X−E(X) Y−E(Y)
∂2f
E assim a série de taylor até a segunda ordem é dada por:
Atender às expectativas gera:
Qual é a resposta que eu dei. (embora eu tenha esquecido inicialmente o sinal de menos no segundo período)
fonte