Verificando se uma densidade é uma família exponencial

Tentando provar que isso não pertence à família exponencial.

$f(y|a)=4\frac{(y+a)}{(1+4a)} ; 0 < y < 1 , a>0$

Aqui está a minha abordagem:

Comparando isto com a forma padrão, e , que tem de ser uma função de apenas , não pode ser definida em termos de sozinho, como na é inseparável. Isso é suficiente para mostrar que essa distribuição não pertence à família exponencial.g ( a ) a a y 1 + $h(y) = 4y$$g(a)$$a$$a$$y$$1+\frac{a}{y}$

Por favor, revise minha abordagem.

Você colocou o dedo no cerne da questão e, de fato, o resultado é bastante óbvio, mas a lógica parece um pouco errada. O método descrito abaixo usa repetidamente logaritmos e diferenciação para tornar o problema progressivamente mais simples, até que se torne totalmente trivial.

Por definição, é o PDF de uma família exponencial quando seu logaritmo pode ser escrito como uma soma de algo apenas em termos do parâmetro ( ), algo mais apenas em termos de dados ( ) e outra coisa que é um produto de uma função de e uma função de . Isso significa que você pode ignorar qualquer fator que dependa claramente apenas do parâmetro ou apenas dos dados. Nesse caso, é óbvio que depende apenas de , portanto podemos ignorá-lo. a y a y $f$$a$$y$$a$$y$$\frac{4}{1+4a}$$a$

O problema está em . Precisamos provar que não podem existir funções "agradáveis" e modo que mais alguma função de sozinho mais alguma outra função de sozinho. Que "plus" parte é chata, mas podemos matá-lo através da diferenciação primeira com respeito a (a derivada de qualquer função de por si só será zero) e, em seguida, com respeito a (a derivada de uma função de vontade sozinho seja zero). Ao negar os dois lados (para tornar o lado esquerdo positivo), isso dáη T log ( y + a ) = η ( a ) T ( y ) $y+a$$\eta$$T$$\log(y+a) = \eta(a) T(y)$$a$a y y $y$$a$$y$$y$$a$

Eu quero usar logaritmos para simplificar o lado direito (que, sendo igual ao lado esquerdo, é sempre positivo). Supondo que e sejam contínuos garantirá que existem alguns intervalos de valores para e para nos quais e ou então e . Isso significa que realmente podemos dividir o lado direito em dois fatores positivos, permitindo que o logaritmo seja aplicado. Fazer isso produzT ′ a y - η ′ ( a ) > 0 T ′ ( y ) > 0 η ′ ( a ) > 0 - T ′ ( y ) > $\eta'$$T'$$a$$y$$-\eta'(a)\gt 0$$T'(y)\gt 0$$\eta'(a)\gt 0$$-T'(y)\gt 0$

(ou então uma expressão comparável com alguns sinais negativos lançados). Agora vamos jogar o mesmo jogo: em ambos os casos, diferenciando ambos os lados com respeito a ambos e rendimentos$a$$y$

uma impossibilidade.

Olhando para trás, essa abordagem teve que assumir que e têm segundas derivadas dentro de alguns intervalos de seus argumentos. A análise pode ser feita da mesma maneira, usando diferenças finitas para enfraquecer essas suposições, mas provavelmente não vale a pena.$\eta$$T$

Será em família exponencial se puder ser escrito em (com outras condições).$fh(x)e^{ηT(x)-A(η)}$

Seja . Agora, para quaisquer 4 pontos de dados no espaço de amostra = , que está livre de η. $g(x,η)=ηT(x)-A(η)$$x_1,x_2,x_3,x_4$$\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$$\frac{(T(x1)-T(x2))}{(T(x3) - T(x4))}$

Agora aqui = . Tome .$f(y;a)= 4\frac{y+a}{(4a+1)}$$4 e^( ln(y+a)-ln(4a+1) )$$g(x,η)=ln(y+a)-ln(4a+1)$

Então = - que não está livre de a. então não pertence à família exponencial. (ln(y1+a)-ln(y2+a)$\frac{(g(x1,η)-g(x2,η))}{(g(x3,η)-g(x4,η))}$$\frac{(ln(y1+a)-ln(y2+a))}{(ln(y3+a)-ln(y4+a))}$$f(y;a)$