Deixe- são observações distintas (sem vínculos). Deixe- X * 1 , . . . , X ∗ n denota uma amostra de bootstrap (uma amostra do CDF empírico) e deixa ˉ X ∗ n = 1X1,...,XnX∗1,...,X∗n . EncontreE( ˉ X ∗ n )eVar( ˉ X ∗ n ).X¯∗n=1n∑ni=1X∗iE(X¯∗n)Var(X¯∗n)
O que eu tenho até agora é que é X 1 , . . . , X n cada um com probabilidade 1X∗iX1,...,Xn então
E(X ∗ i )=11ne
E(X ∗ 2 i )=1
E(X∗i)=1nE(X1)+...+1nE(Xn)=nμn=μ
que dá
V a r ( X ∗ i ) = E ( X ∗ 2 i ) - ( E ( X ∗ i ) ) 2 = μ 2 + σ 2 - μ 2 = σ 2E(X∗2i)=1nE(X21)+...+1nE(X2n)=n(μ2+σ2)n=μ2+σ2,
Var(X∗i)=E(X∗2i)−(E(X∗i))2=μ2+σ2−μ2=σ2.
Então,
e
Var( ˉ X ∗ n )=Var(1
E(X¯∗n)=E(1n∑i=1nX∗i)=1n∑i=1nE(X∗i)=nμn=μ
uma vez que os
X ∗ i são independentes. Isso fornece
Var( ˉ X ∗ n )=nσ2Var(X¯∗n)=Var(1n∑i=1nX∗i)=1n2∑i=1nVar(X∗i)
X∗iVar(X¯∗n)=nσ2n2=σ2n
X1,…,Xn
Var(X¯∗n)=E(Var(X¯∗n|X1,...,Xn))+Var(E(X¯∗n|X1,…,Xn)).
E(X¯∗n|X1,…,Xn)=X¯nVar(X¯∗n|X1,…,Xn)=1n2(∑X2i−nX¯2n)Var(X¯∗n)=(2n−1)σ2n2
Estou fazendo algo errado aqui? Meu sentimento é que não estou usando a fórmula de variação condicional corretamente, mas não tenho certeza. Qualquer ajuda seria apreciada.
Respostas:
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Essa pode ser uma resposta tardia, mas o que está errado no seu cálculo é o seguinte: você assumiu que incondicionalmente sua amostra de inicialização é iid. Isso é falso: condicional em sua amostra, a amostra de autoinicialização é realmente iid, mas incondicionalmente você perde a independência (mas ainda tem variáveis aleatórias distribuídas de forma idêntica). Este é essencialmente o Exercício 13 em Larry Wasserman Todas as estatísticas não paramétricas .
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