Variação da média da amostra da amostra de bootstrap

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Deixe- são observações distintas (sem vínculos). Deixe- X * 1 , . . . , X n denota uma amostra de bootstrap (uma amostra do CDF empírico) e deixa ˉ X n = 1X1,...,XnX1,...,Xn . EncontreE( ˉ X n )eVar( ˉ X n ).X¯n=1ni=1nXiE(X¯n)Var(X¯n)

O que eu tenho até agora é que é X 1 , . . . , X n cada um com probabilidade 1XiX1,...,Xn então E(Xi )=11ne E(X2 i )=1

E(Xi)=1nE(X1)+...+1nE(Xn)=nμn=μ
que dá V a r ( X i ) = E ( X 2 i ) - ( E ( X i ) ) 2 = μ 2 + σ 2 - μ 2 = σ 2
E(Xi2)=1nE(X12)+...+1nE(Xn2)=n(μ2+σ2)n=μ2+σ2,
Var(Xi)=E(Xi2)(E(Xi))2=μ2+σ2μ2=σ2.

Então, e Var( ˉ X n )=Var(1

E(X¯n)=E(1ni=1nXi)=1ni=1nE(Xi)=nμn=μ
uma vez que osXi são independentes. Isso forneceVar( ˉ X n )=nσ2
Var(X¯n)=Var(1ni=1nXi)=1n2i=1nVar(Xi)
XiVar(X¯n)=nσ2n2=σ2n

X1,,Xn

Var(X¯n)=E(Var(X¯n|X1,...,Xn))+Var(E(X¯n|X1,,Xn)).

E(X¯n|X1,,Xn)=X¯nVar(X¯n|X1,,Xn)=1n2(Xi2nX¯n2)Var(X¯n)=(2n1)σ2n2

Estou fazendo algo errado aqui? Meu sentimento é que não estou usando a fórmula de variação condicional corretamente, mas não tenho certeza. Qualquer ajuda seria apreciada.

rrruss
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Talvez o seu V (E (X | X1..Xn)) não esteja calculado corretamente. A resposta deve ser a mesma.
Você provavelmente está certo - mas esta resposta não parece muito informativa. Talvez você possa apontar para qual parte não está correta?
whuber

Respostas:

5

n1n2S2

Greg
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4

Essa pode ser uma resposta tardia, mas o que está errado no seu cálculo é o seguinte: você assumiu que incondicionalmente sua amostra de inicialização é iid. Isso é falso: condicional em sua amostra, a amostra de autoinicialização é realmente iid, mas incondicionalmente você perde a independência (mas ainda tem variáveis ​​aleatórias distribuídas de forma idêntica). Este é essencialmente o Exercício 13 em Larry Wasserman Todas as estatísticas não paramétricas .

M Turgeon
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