dominância estocástica de segunda ordem sem a mesma média

Sejam e G duas distribuições com a mesma média. F é dita segunda ordem estocasticamente dominam ( SOSD ) G se ∫ u ( x ) d F ( x ) ≥ ∫ u ( x ) d G ( x ) para todos crescente e côncava u ( ⋅ ) .$F$$G$$F$$G$

$$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$$ $u(\cdot)$

Essa definição acima é equivalente a

$$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$$

Disseram-me que o requisito de que e G tenham a mesma média não é realmente necessário. Suponha que F e G que não têm a mesma média. Ainda podemos ter a equivalência entre ( 1 ) e ( 2 ) ?$F$$G$$F$$G$$(1)$$(2)$

NB eu era capaz de mostrar sem a mesma condição média, mas não o contrário.$(2)\Rightarrow (1)$

$u(x) = x$

$$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$$F$$G$

$F$$G$