Linearização logarítmica da equação de Euler com um termo de expectativa

Existem alguns recursos online disponíveis para ajudar na linearização de log (por exemplo, aqui ou aqui ). No entanto, a linearização de log em que uma expectativa está envolvida é um pouco complicada, porque o log não pode simplesmente "passar" pelo operador de expectativa. Alguém poderia ajudar com a álgebra neste exemplo?

Eu tenho a equação de Euler (equação 1) ondeθ=(1-γ)/(1-1/ψ). Estou tentando derivar uma expressão para a taxa livre de risco e uma expressão para o prêmio de capital. Como devo fazer isso?

$$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$$ $\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Parece que a partir do segundo link acima que eu deveria começar substituindo as variáveis de interesse como assim . Seguindo os passos dados, parece que devo chegar a (equação 2)$C_t = c e^{\tilde C_t}$

$$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$$

Mas para onde eu vou daqui?

EDITAR:

1. Copiei a equação 1 diretamente das notas que tenho. Provavelmente, o termo à direita deve estar entre parênteses ( 1 + R i , t + 1 ) . Na minha tentativa inicial de linearização de log, eu a tratei dessa maneira.$1 + R_{i,t+1}$$(1 + R_{i,t+1})$

2. Na equação 2, segui as etapas da instrução que podem ser encontradas no segundo link no início. Assim, e R m sem subscritos tempo são esses valores no estado estacionário.$R_i$$R_m$

3. é o retorno do portfólio de mercado e R i é o retorno do ativo i .$R_m$$R_i$$i$

EDIT 2:

Obrigado pelos comentários úteis. Então, pelo que eu colecionei até agora, devo obter algo assim:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$$

Isso implica que a taxa livre de risco é encontrada da seguinte forma:

$$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$$

Isso está correto? E agora, para finalizar a pergunta, como eu encontraria o prêmio de capital?

Vamos ignorar por um momento a existência do valor esperado. Se essa fosse uma configuração determinística, a linearização através da obtenção de logs seria simples e sem os truques dos links fornecidos pelo OP. Tomando troncos naturais em ambos os lados da primeira equação, obtemos:

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$$

Conjunto

$$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$$

$\ln (1+a) \approx a$$|a|<0.1$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$$

$\hat c_{t+1} =0$

$$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$$

$E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$$f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$$f()$$\mathbf z_{t+1}$$t$$\mathbf z_{t+1}$$E_t(\mathbf z_{t+1})$

$$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$$

Então

$$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$$

$(3)$

$$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$$

Mas onde estão os valores no estado estacionário ? Bem, valores de estado estacionário em um contexto estocástico são um pouco complicados - estamos argumentando que nossas variáveis ​​(que agora são tratadas como variáveis ​​aleatórias) se tornam constantes ? Ou existe outra maneira de definir um estado estacionário em um contexto estocástico?

$$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$$

$(7)$$(3)$

$(4)$

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$$f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$

$$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$$ $x$

EDITAR:

$f(x) - \overline{f(x)}$$x - \bar x$$f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$$E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$$\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$$\beta$

$$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$$ $$E[\epsilon] = 0.$$ $$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$$

Seu problema parece uma equação de precificação de ativos com preferências recursivas (Epstein-Zin). Quando estiver interessado nos preços dos ativos, é preciso ter cuidado com a linearização "macroeconômica" usual. Essa aproximação é equivalente à certeza, o que significa que os coeficientes da solução linearizada não dependem do tamanho dos choques. Além disso, todas as variáveis ​​na solução linearizada flutuam em torno de seus estados estacionários determinísticos. Como resultado, os prêmios de risco são zero, o que meio que desafia o argumento.

Uma solução é usar métodos de perturbação de ordem superior (2ª ordem para obter prêmios de risco constantes, 3ª ordem para prêmios de variação temporal). Isso é fácil de ser feito com o software existente (por exemplo, Dynare), se você quiser resolver o modelo numericamente de qualquer maneira (nesse caso, também não há necessidade de linearizar manualmente). Se preferir uma solução analítica (aproximada), a maneira usual é linearizar a dinâmica das quantidades (por exemplo, crescimento do consumo) e obter preços dos ativos diretamente da equação de Euler, computando as expectativas usando a suposição de normalidade do log, como em Bansal & Yaron (2004) .

Por exemplo, se variáveis ​​em minúsculas são logs, a equação de Euler usual pode ser reescrita como

$$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$$

$m_{t+1},r_{t+1}$

$$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$$

$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

$$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$$

e assim devemos ter

$$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$$

Para realmente calcular os preços dos ativos, seria necessário

• expressar log-SDF como uma função linear de algumas variáveis ​​de estado e choques (por exemplo, aumento do consumo de log no caso de CRRA)

• linearize o retorno em termos de razão de log dividendo-preço (aproximação de Campbell-Shiller), substitua-o por (1).

• expresse a razão log D / P como linear em variáveis ​​de estado e use o método de coeficientes indeterminados para obter uma solução que satisfaça (1).

Na prática, é um pouco mais complicado (especialmente com as preferências de EZ, quando é necessário usar a abordagem primeiro para obter retorno de mercado que entra no SDF, depois pela segunda vez para outros retornos), mas mais detalhes podem ser encontrados, por exemplo, no link Bansal & Yaron papel.