Curvas de cálculo e indiferença em um exemplo de economia urbana

Estou lendo o artigo ' The Structure of Urban Equilibria ' de Jan Brueckner.

Ele usa um modelo de cidade monocêntrica, onde todos os consumidores ganhar renda no centro da cidade. Eles compram habitação por um preço na distância do centro, incorrendo em custos de transporte .q p x t $y$$q$$p$$x$$tx$

Os consumidores têm uma função de utilidade:

$v(c,q)=v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))=u$

onde $\phi=x,y,t,u$

A restrição orçamentária é:

$c = y - tx - pq$

A condição de tangência implica:

$\frac{v_1(y - tx - pq, q)}{v_2(y - tx - pq, q)} = p$

onde o subscrito 1 denota diferenciação parcial no primeiro argumento etc.

O papel depois discute como e variar de acordo com e .q x , y , t $p$$q$$x, y, t$$u$

Se , permaneceremos na mesma curva de indiferença. Acho relativamente simples encontrar e .∂ $\phi=x,y,t$ ∂$\frac{\partial{p}}{\partial{x}},\frac{\partial{p}}{\partial{y}}$$\frac{\partial{p}}{\partial{t}}$

Se é a inclinação da curva de demanda compensada pela renda, então .∂ $\eta$$\frac{\partial{q}}{\partial{\phi}} = \eta\frac{\partial{p}}{\partial{\phi}}$

Agora, para permitir que varie. Os balanços restrição orçamentária ao encontro de uma nova curva de indiferença, determinar o novo e .p $u$$p$$q$

Posso encontrar . Diferencie totalmente a função utilidade wrt u:$\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$

$\frac{d}{du}[v(y - tx - p(\phi)q(\phi),q(\phi))= u] = v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})+v_2(\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=1$

Desde, pela condição de tangência :$v_2=pv_1$

$v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q-p\frac{\partial{q}}{\partial{u}}+p\frac{\partial{q}}{\partial{u}})=v_1(-\frac{\partial{p}}{\partial{u}}q)=1$

Então .$\frac{\partial{p}}{\partial{u}} = \frac{-1}{qv_1}$

O artigo cita:

$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$

Não sei como derivar isso. Suponho que o primeiro termo entre colchetes seja um efeito de substituição e o segundo termo seja um efeito de renda.

Por favor, ajude-me a entender esta última expressão e como derivá-lo.$\frac{\partial{q}}{\partial{u}} = [\frac{\partial{p}}{\partial{u}}-\frac{\partial{MRS}}{\partial{c}}\frac{1}{v_1}]\eta$