Homogêneo de grau um em função de utilidade.

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Questão

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Minha solução é a seguinte. Por favor, verifique minha solução. Se eu cometer um erro, por favor, diga. Não tenho muita certeza da minha solução. Obrigado

U (x) é homogêneo de grau um, isto é, u (tx) = tu (x)

Em primeiro lugar, mostro que a função de utilidade indireta é homogênea de grau um em m.

Pela maximização da utilidade,

V (p, m) = max u (x) sujeito a px m

tv (p, m) = max tu (x) sujeito a px m

Como u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) sujeito a px m

Então v (p, tm) = tv (p, m)

Essa é a função de utilidade indireta homogênea do grau um.

Eu mostro que a função de gasto é homogênea do grau um em u usando o resultado anterior.

Eu sei disso

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Como u (x) é homogêneo de grau um ev (p, m) é homogêneo de grau um em m, v (p, e (p, u)) deve ser homogêneo de grau um em e (p, u) .

Em outras palavras, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) mantém iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

ie A função cara e (p, u) é homogênea de grau um em u.


Agora vou mostrar que a demanda marshalliana x (p, m) é homogênea de grau um em m.

Pela identidade de Roy,

v(p,m)/pv(p,m)/m=x(p,m)

Pelo primeiro resultado, como v (p, m) é homogêneo de grau um em m, então x (p, m) é homogêneo de grau um em m.

Agora vamos mostrar que a demanda hicksiana é homogênea de grau um em u.

Eu sei disso

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Como e (p, u) é homogêneo de grau um pela segunda parte,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) deve valer uma vez que a igualdade (1) existe.

Essa é a demanda hicksiana é homogênea de grau um em u.

none009
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u(tx)=tu(x)tv(p,m)=maxu(tx)s.t.p(tx)tm=v(p,tm)

Respostas:

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A maneira como você mostra que é homogêneo de grau um em está correta, mas a razão pela qual isso implica que, é homogênea de grau um em , não é muito precisa em seu argumento . Por exemplo, a dualidade nos diz onde é apenas um nível de utilidade alvo, mas não deve ser como em sua prova.v(p,m)me(p,u)u

v(p,e(p,u))=u,
uu(x)

Aqui está uma maneira possível de proceder: Como é homogêneo de grau um em , pode ser escrito como Aplicando a igualdade fornece que implica claramente que é homogêneo do grau um em . Você pode usar um argumento semelhante para provar a homogeneidade da demanda hicksiana.v(p,m)m

v(p,m)=mv(p,1)=mv~(p).
v(p,e(p,você))=você
e(p,você)=vocêv~(p),
e(p,você)você

Com tudo isso dito, sugiro que você prove a declaração original diretamente, usando as definições da função de despesa e da demanda hicksiana. Por exemplo,

e(p,λvocê)=minpx   st você(x)λvocê=λminp1 1λx   st 1 1λvocê(x)você=
Ziwei Wang
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Ok obrigado. Eu faço isso para a demanda hicksian também. Por favor, verifique minha solução também para ver se há demanda hicksian. novamente vamos normalizar m = 1. E . Como então eu tenho portanto, como e (p, u) é homogêneo de grau um em u, a demanda hicksiana também é homogênea de grau um em u. Isto está certo? Por favor, verifique novamente querido @ZiweiWang, muito obrigado. :)x(p,m)=mx(p,1 1)=mx~(p)x(p,e(p,você))=h(p,você)h(p,você)mx~(p)=e(p,você)
none009
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Observe que você inseriu , então (ou seja, não deve aparecer em sua expressão para ).h ( p , u ) = ˜ x ( p ) e ( p , u ) m h ( p , u )m=e(p,você)h(p,você)=x~(p)e(p,você)mh(p,você)
Ziwei Wang