Então, eu preciso determinar se ou não $ u = x ^ {0.5} y ^ {0.5} $ exibe as mesmas preferências que $ u '= log (x) + log (y) $. Algum truque que eu possa usar aqui? Eu fiz a transformação logarítmica para que eu agora tenha $ (0.5) log (x) + (0.5) log (y) $. Meu palpite é que, se eu multiplicar por $ 2 $, receberei $ log (x) + log (y) $ e, assim, provarei que u e u 'referem-se às mesmas preferências, mas não tenho certeza se isso está correto ?
Dica: como uma transformação monótona positiva da função de utilidade afeta o problema de maximização do consumidor?
Editar,
Suponha que o pacote ideal para algum agente com alguma função de utilidade $ u $ seja dado por $ x ^ {*} = (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}) $. Suponha, então, que eu tome a transformação de $ u $ por alguma função estritamente monótona $ f $. Eu afirmo que $ x ^ {*} = (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}) $ é o pacote ideal para a nova função de utilitário $ v = f \ circ u $.
Suponha que não, suponha que haja outro pacote $ \ hat {x} = (\ hat {x} _ {1}, \ hat {x} _ {2}) $ tal que $ v (\ hat {x}) & gt ; v (x ^ {*}) $. Mas, pela definição de $ v $, temos $$ \ tag {In} \ label {In} f (u (\ hat {x})) & gt; f (u (x ^ {*})) $$ Então, como $ f $ é estritamente monótono, é invertível e, portanto, de \ ref {In} devemos ter $ u (\ hat {x}) & gt; u (x ^ {*}) $, que contradiz a otimização de $ x ^ {*} $.
A função $ \ ln $ é uma função estritamente monótona no domínio $ \ Re _ {+} $.
Para ver se as preferências entre $ u $ e $ u '$ são as mesmas, basta olhar para o $ MRS $ de ambas para ver se são equivalentes.
isto é
$$ MRS_ {u} = \ frac {MU_x} {MU_a} = \ frac {\ left (0.5x ^ {- 0.5} y ^ {0.5} \ right)} {\ left (0.5x ^ {0.5} y ^ {-0.5} \ right)} = \ frac {y} {x} $$
$$ MRS_ {u '} = \ frac {\ frac {1} {x}} {\ frac {1} {y}} = \ frac {y} {x} $$
$$ \ Rightarrow MRS_u = MRS_ {u '} $$
$ \ portanto, $ $ u $ e $ u '$ têm as mesmas preferências.
Espero que isso seja útil
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