Consumidor ideal em uma economia com um continuum de commodities

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Considere uma economia com um continuum de mercadorias, com uma mercadoria para cada ponto em .[0,1]

Suponha que um consumidor quer maximizar sujeito a 1 0 p i c i

U=01ciθdi0<θ<1
, onde c i é a quantidade do i mercadoria -ésimo consumido, p i seu preço e M de renda o dinheiro do consumidor.
01picidi=M
ciipiM

Esse tipo de problema surge, por exemplo, na aplicação do modelo Dixit-Stiglitz à macroeconomia ou ao comércio internacional.

A solução para esse problema é supostamente ondeAé uma constante escolhida para garantir que a restrição orçamentária seja atendida.

ci=Api1θ1
A

Não estou muito satisfeito com derivações desse resultado que usam multiplicadores de Lagrange em analogia com o caso de um número finito de mercadorias. Qual seria um método completamente matematicamente rigoroso para obter o resultado acima?

Parece claro que não há uma solução única desde a mudança arbitrariamente os valores de para um número finito de valores de i vai deixar as integrais na função de utilidade e restrição orçamental inalterada. Estou esperando que uma derivação completamente rigorosa também identifique corretamente esse grau de não singularidade.cii

EDIT: Em resposta aos comentários de @BKay, @Ubiquitous. Meu problema em começar com economias com mercadorias e tomar o limite como n é que isso precisa ser acompanhado por um argumento que mostre que o limite de ótimos é um ótimo para o problema do limite. Gostaria de receber uma referência a um resultado que mostre isso para esse problema específico ou para um resultado geral aplicável a esse problema.nn

Em resposta a @AlecosPapadopoulos. As provas do método multiplicador de Langrange, ensinadas em matemática para cursos de economia, geralmente são para um número finito de variáveis ​​de escolha. Eu apreciaria uma referência para onde o método é justificado para um continuum de variáveis ​​de escolha. Além disso, a não singularidade que mencionei acima mostra que o método não pode estar exatamente correto. Então, quais são exatamente as qualificações necessárias para sua validade?

Jyotirmoy Bhattacharya
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Eu concordo com o OP, muito pode potencialmente dar errado quando o espaço se torna dimensional infinito. Para mim, não está claro que o limite do ótimo seja o ideal do limite.
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Respostas:

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A coisa completamente rigorosa seria escrever a equação de Euler Lagrange desse problema de cálculo de variações; isso fornecerá uma solução forte que é o que você tem ou uma solução fraca que é escrita com relação a uma distribuição.

user157623
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Mas como incorporar minha restrição orçamentária em uma formulação de cálculo de variações?
Jyotirmoy Bhattacharya
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Verifique este link, math.stackexchange.com/questions/279518/… , uma função multiplicadora de lagrange !, é o que você precisa. Isso fornece uma solução forte que pode ser interpretada pontualmente, embora deva ter quase certeza com a medida dominante
user157623
Obrigado. Seguindo a sugestão de usar o cálculo das variações, encontrei um Teorema 1 na seção 12 de Kolomogorov e o Cálculo das variações de Fomin parece lidar com restrições expressas como integrais. Então, de certa forma, é possível usar os multiplicadores de Langrange, afinal.
Jyotirmoy Bhattacharya
Isso é útil, mas como um comentário, não como uma resposta.
Alecos Papadopoulos
Você está certo, Jyotirmoy Bhattacharya, talvez alguém possa editá-lo para ser uma resposta completa com os links fornecidos nos comentários.
user157623
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Como o OP observou em um comentário, o Teorema 1 na seção 12 de Kolomogorov e o Cálculo de Variações de Fomin parece fornecer algum conforto de que podemos realmente usar o método Multiplicador de Langrange quando o número de nossas variáveis ​​é infinito. Ainda assim, os autores fazem isso em uma nota de rodapé, escrevendo "o leitor reconhecerá facilmente a analogia com os multiplicadores de Langrange". Portanto, não, isso não mostra rigorosamente o que queremos.

Penso que precisamos de um artigo como Craven, BD (1970). Uma generalização de multiplicadores de Lagrange. Boletim da Australian Mathematics Society, 3 (03), 353-362. que em seu resumo escreve:

O método dos multiplicadores de Lagrange para resolver um problema de valor estacionário restrito é generalizado para permitir que as funções tomem valores em espaços arbitrários de Banach (sobre o campo real). O conjunto de multiplicadores de Lagrange em um problema de dimensão finita é mostrado para ser substituído por um mapeamento linear contínuo entre os espaços de Banach relevantes.

É uma linguagem matemática, mas diz o que queríamos ouvir (também é possível encontrar uma breve exposição na wikipedia na medida em que confia no conteúdo).

Então, podemos formar o Lagrangeano do problema

Λ=01ciθdi+λ(M01picidi)

e calcule a (s) condição (s) de primeira ordem, informalmente, "olhando a integral e vendo uma soma",

(1)Λci=0θciθ1=λpi,i[0,1]

... um continuum de condições. Para uso posterior, definimos

σ1/(1θ),1θ=1/σ,θ=σ1σ

σ

(1)j

(2)ci=(pipj)σcj

pii

01picidi=01pi1σpjσcjdi

M=pjσcj01pi1σdi

(3)cj=pjσM(01pi1σdi)1

j

Alecos Papadopoulos
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O resultado de Kolmogorov-Fomin aplicado mecanicamente nos dá uma solução. Portanto, não precisamos recorrer à analogia com os multiplicadores de Lagrange. Estou escrevendo em uma resposta separada.
Jyotirmoy Bhattacharya,
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Esta é apenas uma elaboração da resposta dada por @ user157623. Estou postando como um wiki da comunidade por conveniência.

O Teorema 1 da Seção 12 de Kolmogorov e o Cálculo de Variações de Fomin diz

J[y]=abF(x,y,y)dx,
y(a)=A,y(b)=b,K[y]=abG(x,y,y)dx=l,
K[y]J[y]y=y(x)y=y(x)K[y]λy=y(x)
ab(F+λG)dx,
y=y(x)
FyddxFy+λ(GyddxGy)=0.

xicyF(i,c,c)=cθG(i,c,c)=pc

θciθ1+λpi=0

K[y]y(a)y(b)cc(i)c(0)=c(0),c(1)=c(1)

O único problema é a natureza do próprio teorema. Dá as condições necessárias para um ótimo. Dado que, no nosso caso, a condição necessária fornece um resultado único, tudo o que precisamos para torná-lo suficiente é argumentar que nosso problema tem uma solução.

As provas em Kolmogorov-Fomin assumem que as funções com as quais estamos lidando têm primeiras derivadas contínuas. Portanto, ainda precisamos mostrar que o problema do consumidor tem um ótimo nessa classe de funções, mas, considerando que o problema foi resolvido.

Jyotirmoy Bhattacharya
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