Função de produção CES com

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Ao usar funções de produção CES da forma f(x1,x2)=(x1ρ+x2ρ)1/ρ , sempre assumimos que ρ1 . Por que fazemos essa suposição? Entendo que se ρ>1 , a função de produção não será mais côncava (e, portanto, o conjunto de produção não será convexo), mas o que isso implica nas funções de lucro e custo?

Sher Afghan
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ρ acima de um resultaria em uma solução de canto em que apenas uma entrada é escolhida com quantidade positiva. Como o objetivo das funções de produção com vários bens é geralmente modelar circunstâncias em que duas entradas são realmente usadas, esse é um recurso indesejável.
BKay
Haverá uma solução para o lucro máximo do problema?
Sher Afghan
@SherAfghan, a função linear com ρ=1 parece não pertencer à família CES, pois sua elasticidade de substituição não é constante.
Garej

Respostas:

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O problema com é que isso significa que o produto marginal dos fatores não está diminuindo ( ρ < 1 ) ou constante ( ρ = 1 ), mas aumentando, o que é uma suposição estranha. Tais funções produzem isoquantes côncavos e podem levar ao uso de apenas um fator (como disse BKay).ρ>1ρ<1ρ=1

Como em qualquer CES genérica, o produto marginal do fator éxi

MPi=(yxi)1ρ

A derivada deste MP em relação a é, após alguma reorganização,xi

(ρ1)(yxi)1ρ(xixiyρ)

Para , essa expressão é positiva, o que significa que a produtividade de um fator aumenta à medida que mais desse fator é usado.ρ>1

Em relação aos isoquantes, você pode encontrá-los reescrevendo a função de produção como . No CES genérico, isso éx2=g(y,x1)

x2=(yρx1ρ)1ρ

Estes são lineares no caso de , convexos no caso de Cobb-Douglas (onde a função acima é x 2 = yρ=1 , uma hipérbole) e côncava no caso deρ>1. Por exemplo, selecioneρ=2e você terá:x2=yx1ρ>1ρ=2

x22=y2x12

que é a fórmula de um círculo centrado em , com raio y . Normalmente, para a teoria da produção, apenas x i0 é interessante, o que fornece isoquantes côncavos para diferentes níveis de y . A figura abaixo mostra um exemplo: se, para uma determinada razão de preços de fatores, houver uma solução de canto (ponto A):(0,0)yxi0y

insira a descrição da imagem aqui

(Código para reproduzir a figura aqui )

luchonacho
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Aqui está minha tentativa desta pergunta, ela está incompleta e / ou incorreta, por isso, ajude a fazer sugestões e eu a editarei.

Minimização de custos

Como não é quase côncavo, as curvas isoquantes correspondentes não serão cobertas pela origem (ou seja, seu conjunto de contornos superiores não será convexo). Nesse caso, a empresa deve empregar soluções de canto e demandas condicionais de fatores serão dadas como; x 1 ( p , y ) = q 2f(x1,x2)

x1(p,y)=q2andx2(p,y)=0ifw1<w2
x1(p,y)=0andx2(p,y)=q2ifw1>w2
Essas demandas de fator condicional fornecem a função de custo; C ( w , y ) = m i n [ w 1 q 2 , w 2 q 2 ] Maximização de Lucros
x1(p,y)=0,x2(p,y)=q2orx1(p,y)=q2,x2(p,y)=0ifw1=w2
C(w,y)=min[w1q2,w2q2]

f(tx1,tx2)<tf(x1,x2)t>1

Sher Afghan
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(x1ρ+x2ρ)θ/ρθρ
ρ<1θ
ρθρθ
ρ>1θθ1θ>1
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A existência de uma solução para o problema de maximização de lucro depende adicionalmente da estrutura do mercado. O problema de maximização de lucro de um monopolista ainda é geralmente bem definido, enquanto que para empresas que adotam preços não será esse o caso.
HRSE
0

ρ1

rw

w=1π(q)p>0ρ=2

π(q)=pq1(q21)1/2

π>0


Para ver o mesmo efeito em um exemplo mais simples ( não derivado do CES), considere o seguinte:

π(q)=pq2q1/2

SOC é .π=(1/2)q3/2>0

Observe mas não, digamos, como de costume. Vamos comparar esses dois casos para no gráfico para apreciar a diferença. q 2 p = 1,7q1/2q2p=1.7insira a descrição da imagem aqui

garej
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