Matrizes unitárias aproximadas

Atualmente, tenho 2 matrizes unitárias que quero aproximar com uma boa precisão com o menor número possível de portas quânticas.

No meu caso, as duas matrizes são:

• A raiz quadrada da porta NOT (até uma fase global) $$G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$$
• $$W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$$

Minha pergunta é a seguinte:

Como posso aproximar essas matrizes específicas com o menor número possível de portas quânticas e uma boa precisão?

O que eu quero ter pode dar ao luxo de tê-lo:

1. Posso me dar ao luxo de usar vários dias / semanas de tempo de CPU e muito RAM.
2. Posso me dar ao luxo de passar 1 ou 2 dias humanos procurando truques matemáticos (em último recurso, é por isso que pergunto aqui primeiro). Esse tempo não inclui o tempo que eu precisaria para implementar os algoritmos hipotéticos usados ​​para o primeiro ponto.
3. Eu quero que a decomposição seja quase exata. Não tenho uma precisão de destino no momento, mas os dois portões acima são usados ​​extensivamente pelo meu circuito e não quero que os erros se acumulem demais.
4. Quero que a decomposição use o menor número possível de portas quânticas. Este ponto é secundário no momento.
5. Um bom método me deixaria escolher o compromisso que eu queria entre o número de portas quânticas e a precisão da aproximação. Se isso não for possível, provavelmente é necessária uma precisão de pelo menos $10^{-6}$ (em termos de norma de rastreamento) (como dito anteriormente, não tenho estimativas, portanto, não tenho certeza desse limite).
6. O conjunto de porta é: $$\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$$ com$R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ conforme descrito naWikipédia,$R_A$a rotação em relação ao eixo$A$($A$é$X$,$Y$ou$Z$) e $$\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ .

Os métodos que eu conheço:

1. O algoritmo de Solovay-Kitaev. Eu tenho uma implementação deste algoritmo e já testei em várias matrizes unitárias. O algoritmo gera seqüências bastante longas e o trade-off [número de portas quânticas] VS [precisão da aproximação] não é parametrizável o suficiente. No entanto, executarei o algoritmo nesses portões e editarei esta pergunta com os resultados que obtive.
2. Dois artigos sobre aproximação de gate de 1 qubit e aproximação de gate de n-qubit . Eu também preciso testar esses algoritmos.

EDIT: editou a pergunta para tornar "raiz quadrada de não" mais aparente.

Você escolheu duas matrizes particularmente simples para implementar.

A primeira operação (G) é apenas a raiz quadrada do gate X (até a fase global):

No seu conjunto de porta, isto é $R_X(\pi/2)$ .

A segunda operação (W) é uma matriz Hadamard no bloco 2x2 do meio de uma matriz de identidade. Sempre que você vir esse padrão 2x2 no meio, pense em "operação controlada conjugada por CNOTs". E é exatamente isso que funciona aqui (nota: você pode precisar trocar as linhas; depende da sua convenção de endianness):

Portanto, o único problema real é como implementar uma operação controlada do Hadamard. Um Hadamard é uma rotação de 180 graus em torno do eixo X + Z. Você pode usar uma rotação de 45 graus ao redor do eixo Y para mover o eixo X + Z para o eixo X, fazer um CNOT no lugar do CH e depois mover o eixo para trás:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

$W$$W \in O(4)$$CNOTs$

A construção é ideal no sentido de que requer duas portas CNOT e no máximo 12 portas de um qubit único (para o caso mais geral de uma porta real de dois qubit). A construção é baseada no homomorfismo:

$M$$M$

Usando essa construção, a implementação completa do portão fornecida por Vatan e Williams é:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$$R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$$B$

Nenhum desses portões requer seqüências aproximadas. Você pode implementá-los exatamente com seus conjuntos de portas especificados sem grande esforço.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$$R_Y(\theta)$