Método dos Elementos Finitos vs Método dos Elementos Finitos Estendidos (FEM vs XFEM)

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Quais são as principais diferenças entre o FEM e o XFEM? Quando (não) devemos usar o XFEM em vez do FEM e vice-versa? Em outras palavras, quando encontro um novo problema, como posso saber qual deles?

Anh-Thi DINH
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Na maioria das vezes que encontrei o XFEM, era para lidar com descontinuidades relacionadas à propagação de fissuras e fraturamento em mecânica de sólidos. Eu realmente não o vi usado fora deste aplicativo.
Paul
Na verdade, ainda existem muitos outros campos usando o XFEM para resolver. Essa é a razão pela qual eu preciso saber como reconhecer esse método sempre que começar a resolver um problema.
Anh-Thi DINH

Respostas:

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O Método dos Elementos Finitos (MEF) é o método pai que inspirou muitos, muitos outros métodos e métodos que na verdade são MEF, mas fingem não ser.

No método dos elementos finitos, "funções de forma" são usadas para fornecer um espaço de aproximação para que a solução possa ser representada por um vetor. No FEM clássico, essas funções de forma são polinômios.

No Método dos Elementos Finitos Estendidos (XFEM), funções adicionais de "enriquecimento" são usadas para aproximar a solução, além das funções de forma polinomial. Essas funções de enriquecimento são escolhidas para ter propriedades que a solução é conhecida por seguir.

As funções de enriquecimento mais óbvias do XFEM são as funções de potência introduzidas em cantos agudos para representar as singularidades no gradiente da solução (ou seja, a singularidade na tensão para problemas de mecânica sólida). O XFEM pode ser usado para outras funções de enriquecimento e outros domínios de solução (principalmente transferência de calor), mas o nome é sinônimo de análise de fratura.

A distinção entre vários métodos - isso é XFEM ou não ?, etc. - é complicada, sutil e sem importância.

Quanto ao qual usar, o XFEM vê muito pouco uso prático. Existem várias aplicações em códigos de elementos finitos reais, principalmente Abaqus, mas eles não tiveram ampla aceitação.

Para quase todos os problemas práticos, o FEM clássico seria usado. Para a maioria dos problemas de análise de fraturas, o MEF clássico ainda pode ser usado com refinamento de malha e / ou refinamento adequado na área da ponta da trinca. Outros modelos de fratura, menos rigorosos, também podem ser usados.

Mike
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Sem querer tirar essa (excelente) resposta, as funções singulares que representam os componentes da solução nos cantos reentrantes são de fato do tipo que é a distância do canto, para o deslocamento (a solução) e para a tensão (sua derivada). r 0 < α < 1 - 1 < α < 0rαr0 0<α<1 1-1 1<α<0 0
Wolfgang Bangerth
@WolfgangBangerth, Thanks! Editei minha resposta para dizer 'funções de poder', que é o que pretendia colocar em primeiro lugar, embora permaneça impreciso. Eu quase coloquei o sqrt (r) (para uma rachadura fechada) para pintar uma imagem mais clara, mas não tinha certeza se isso seria uma distração. Eu sei que há muito mais detalhes na implementação séria do XFEM (alguns que eu estudei e outros não).
1313 Mike
@ Mike: outra questão menos relacionada é que qual é a diferença entre o F1 da bolha P1 e o XFEM? Você pode me mostrar?
Anh-Thi DINH
@PoBo, há pouca semelhança. Ambos os métodos envolvem a adição de funções de forma sem alterar a malha e ambos são baseados na mesma matemática básica comum a toda a família FEM, mas é aí que a semelhança termina.
1555 Mike
Se você não entender bem a abordagem da versão p ou da função de forma da bolha P1, tente outra pergunta de nível superior ou escolha um dos livros sobre ela (o de Szabo e Babuska é bastante rigoroso no geral, mas muito menos do que outros que cobrem o p-version).
Mike
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Ambos de Mike resposta e Jed de uma descrevem bem a dicotomia XFEM / FEM e corretamente apontam que a área mais importante de aplicação é Mecânica 3D fratura, onde você tem uma rachadura, ou seja, um deslocamento descontinuidade através de uma superfície dentro do seu domínio.

Rachaduras são difíceis de modelar no FEM clássico por duas razões:

  1. A malha deve ser congruente através da fenda: mais precisamente, a fenda deve estar no limite de um subdomínio dos FE. A fissura não pode estar dentro (embora passe) de um elemento finito.

  2. O campo de tensão singular na ponta da trinca requer que elementos especiais e / ou técnicas de malha (elementos de um quarto de ponto, malha focada) sejam modelados com boa precisão.

Do ponto de vista da engenharia em mecânica de fraturas, você tem dois tipos principais de problemas:

  1. Cálculo do fator de intensidade de estresse ,

  2. análise de propagação de trincas, por exemplo, na análise de fadiga ou tolerância a danos.

Para o primeiro tipo de problema, o MEF clássico é mais do que adequado e é a ferramenta de engenharia padrão. (Isso ocorre porque, felizmente, existem métodos de energia para avaliar os fatores de intensidade de estresse que não são sensíveis a erros numéricos próximos à ponta da trinca.)

A análise de propagação de trincas é uma história completamente diferente: na maioria dos casos, você não conhece de antemão o caminho da trinca e, portanto, é necessário fazer uma atualização frequente. A principal promessa do XFEM é permitir a propagação de trincas dentro de uma malha fixa de FEM, a trincheira cortando seu caminho não apenas na fronteira entre subdomínios, mas dentro dos próprios FE.

O XFEM é uma técnica relativamente nova, ainda longe de ser uma ferramenta de engenharia padrão. Minha resposta à pergunta do OP, pelo menos em análises de mecânica e engenharia sólidas, é que o XFEM possui um campo de aplicação muito estreito e especializado em análise de propagação de trincas e danos, para geometrias 3D complexas, quando o caminho da trinca não pode ser estimado a priori .

Não obstante, deixe-me enfatizar que a mecânica das fraturas é um campo muito importante na engenharia: por exemplo, os aviões de hoje são seguros também porque é possível prever numericamente danos e propagação de trincas entre os intervalos de manutenção. XFEM, ou novas técnicas similares, se tornarão ferramentas importantes em um futuro próximo.

Stefano M
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a importância do XFEM na mecânica da fratura é demonstrada por todos vocês, mas ainda existem outros campos que precisam usar o XFEM em vez do FEM clássico? Por exemplo, no crescimento de biofilme, a interface do biofilme no substrato muda com o tempo. O limite é mutável (limite móvel). Se usarmos o FEM clássico, a malha deve ser gerada a cada passo, certo? Isso realmente não é bom, especialmente no caso 3D. Ou, se considerarmos duas fases de fluido com diferentes gradientes de concentração, também parece necessário usar o XFEM?
Anh-Thi DINH
Existem muitos problemas nos quais você tem superfícies livres ou limites móveis, difíceis com abordagens lagrangianas puras (devido à atualização frequente). O XFEM é mais sobre modelagem de descontinuidades dentro de domínios. Conheço os procedimentos de acoplamento que fazem uso da descontinuidade para representar um limite em movimento ... mas não sou especialista nesses campos.
Stefano M
Outra questão menos relacionada é a diferença entre o FEM da bolha P1 e o XFEM. Você pode me mostrar?
Anh-Thi DINH
Eu sugeriria abrir uma nova pergunta. Resumidamente, P1-bolha / P1 é um elemento finito específico (para a solução da equação de Stokes), enquanto XFEM é um conceito mais geral, referente ao uso de funções de enriquecimento para modelagem de descontinuidades, explorando uma abordagem de Partição da Unidade.
Stefano M
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O FEM é um subconjunto do XFEM. O XFEM é uma metodologia para enriquecer espaços de elementos finitos para lidar com problemas com descontinuidades (como fraturas). Com o FEM clássico, obter uma precisão semelhante normalmente requer uma malha conformável complicada e refinamento adaptativo, onde o XFEM o faz com uma única malha, movendo essa complexidade geométrica para os elementos (o XFEM é muito complicado de implementar, especialmente em 3D). Enquanto isso, o XFEM resulta em matrizes extremamente mal condicionadas que exigem solucionadores diretos ou métodos multigrid muito especializados (por exemplo, Gerstenberger e Tuminaro (2012) ).

Jed Brown
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O esforço de mover a complexidade das funções de malha para a forma realmente vale a pena no final? Ambos parecem ser complicados da mesma maneira.
shuhalo 12/02
Como tantas vezes acontece na ciência computacional, depende de quem você pergunta e que problema está resolvendo. Muitos praticantes de XFEM fazem punções usando uma quadratura bruta em vez de uma adaptada às descontinuidades intraelementos.
Jed Brown