Recursos modernos para a aprendizagem do MEF

Preciso começar a usar métodos de elementos finitos. Estou prestes a começar a ler soluções numéricas de equações diferenciais parciais pelo método dos elementos finitos de Claes Johnson , mas é datado de 1987.

Duas questões:

1) O que mais recentes bons recursos / livros de texto / e-books / notas de aula sobre o assunto estão lá fora?

2) Quanto estou perdendo lendo um livro de 1987?

Obrigado.

Existem muitas referências modernas a elementos finitos, mas vou apenas comentar alguns livros que considero práticos e relevantes para as aplicações, além de um que contém uma análise mais abrangente.

• Os Métodos de Elementos Finitos Não Lineares de Wriggers (2008) são uma boa referência geral, mas serão mais relevantes para os interessados ​​em aplicações em mecânica estrutural (incluindo contato, conchas e plasticidade).

• Elman, Silvester e Wathen Elementos finitos e solucionadores iterativos rápidos: com aplicações na dinâmica de fluidos incompressíveis (2005) é menos abrangente nas técnicas de discretização de elementos finitos, mas possui bom conteúdo no fluxo incompressível e uma certa classe de solucionadores iterativos. Também explica o pacote IFISS .

• Os métodos de elementos finitos de Donéa e Huerta para problemas de fluxo (2003) cobrem material semelhante, mas incluem métodos de malha móvel ALE e dinâmica de gases compressíveis.

• Brenner e Scott A teoria matemática dos métodos de elementos finitos (revisão de 2008) contém um rigoroso desenvolvimento teórico de discretizações para problemas elípticos lineares, incluindo a teoria multigrid e de decomposição de domínio associada. Ele não trata problemas dominados pelo transporte, não linearidades "confusas" como plasticidade ou bases não polinomiais.

Esses recursos falham em cobrir tópicos como métodos descontínuos de Galerkin ou problemas de (Maxwell). Penso que os artigos são atualmente um recurso melhor do que os livros para esses tópicos, embora os métodos descontínuos de Galerkin (2008) de Hesthaven e Warburton Nodal certamente valham a pena.$H(curl)$

Eu também recomendo a leitura dos exemplos de pacotes de software de elementos finitos de código aberto, como FEniCS , Libmesh e Deal.II .

Para a segunda pergunta, como leitor do livro de Claes Johnson, eu diria que você não perdeu muito como iniciante no método dos elementos finitos, esse livro é bastante abrangente em todos os aspectos do MEF, exceto na implementação .

No entanto, muitos desenvolvimentos foram feitos desde o livro publicado há 20 anos, como outras pessoas já mencionadas: em termos de método, existem o FEM de Galerkin descontínuo e o FEM não conforme, e Elementos em conformidade, técnicas de refino de malha adaptativa ( FEM), MEF no espaço-tempo, MEF com mínimos quadrados, cálculo externo de elementos finitos, etc; Para resolver o sistema de equações lineares, existem métodos multigrid algébricos, vários tipos de pré-condicionadores agradáveis, solucionadores diretos rápidos, etc.H ( d i v ) h $H(\mathbf{curl})$$H(\mathrm{div})$$hp$

Para a primeira pergunta, além das referências de outras pessoas já mencionadas, listarei alguns livros para alguns tópicos específicos no FEM:

• Métodos de elementos finitos mistos e híbridos de Brezzi e Fortin: possui a construção de elemento para o espaço , também existem muitos exemplos de várias equações.$H(\mathrm{div})$

• Métodos de elementos finitos para as equações de Maxwell por Monk: Para vários problemas de , são apresentadas análises teóricas para os espaços de Sobolev e uma construção autônoma de elementos finitos.$H(\mathbf{curl})$

• Métodos de elementos finitos de ordem superior de Šolín, Segeth e Doležel: praticamente um livro complementar para os dois livros acima, ele tem uma construção abrangente e explícita das funções básicas das funções e elemento finito conformado, ou seja, elemento Raviart-Thomas, elemento Brezzi – Douglas – Marini e elemento Nédélec até ordem arbitrária em 3D, também são apresentadas as fórmulas de quadratura para esse elemento.H ( c u r l$H(\mathrm{div})$$H(\mathbf{curl})$

• Métodos de elementos finitos para as equações de Navier-Stokes de Girault e Raviart: Outro clássico dos livros de referência do IME IMHO, a análise teórica dos potenciais vetoriais é a gema, se você estiver lidando com o cálculo FEM dos campos de vetores 3D, então este livro praticamente toda a análise teórica que você precisa.

• Uma estimativa de erro posterior na análise de elementos finitos de Ainsworth e Oden: este livro trata da idéia central do refinamento de malha adaptativa: uma estimativa de erro posteriori para o FEM e como construir vários tipos de indicadores de erro local.

• Teoria e Prática dos Elementos Finitos, de Ern e Guermond: outro livro completo, eu diria, mas não para iniciantes, este livro é para pessoas que conhecem o FEM até certo ponto, mas gostariam de buscar mais ingredientes, por exemplo, o o autor estabeleceu a condição Babuška Inf-Sup na configuração geral do espaço de Banach e a comparou com o teorema do mapeamento aberto e do intervalo fechado na análise funcional; Além disso, este livro apresenta uma boa apresentação do método de Galerkin descontínuo para EDPs hiperbólicas; Na parte III do livro, o autor nos deu uma apresentação abrangente da implementação, de como escolher os pontos de quadratura e como armazenar com eficiência a matriz esparsa e algum pseudo-código para as sub-rotinas necessárias.

Meu favorito pessoal para mecânica e dinâmica estrutural linear ainda não foi mencionado:

Procedimentos de Elementos Finitos , de KJ Bathe.

Se você tem formação em engenharia estrutural, este livro é a melhor introdução ao FEM que eu já vi. Ele discute a formulação de elementos estruturais em profundidade, a condição inf-sup, estimativa de erro e análise modal. Ele também discute problemas de não linearidades, fluxo de calor e fluxo de fluido, mas não posso recomendá-lo para esses tópicos (existem livros simplesmente melhores para eles)

Meus outros favoritos já foram mencionados (por exemplo, Ern e Guermond, Donea e Huerta). No entanto, gostaria de adicionar também:

Uma análise do método dos elementos finitos , de Strang e Fix.

como uma introdução à teoria por trás do MEF.

Existem inúmeros livros sobre métodos de elementos finitos.

Algumas referências clássicas são

• O. Axelsson, VA Barker "Solução de Elementos Finitos para Problemas de Valor Limite", que apresenta os fundemenals e inclui uma apresentação e dissucção de técnicas diretas e iterativas úteis para resolver sistemas de equação. A perspectiva é sobre mecânica e matemática aplicada.

• SC Brenner e L. Ridgway Scotte "A Teoria Matemática dos Métodos de Elementos Finitos", que introduz a teoria matemática fundamental para a compreensão dos fundamentos do MEF. A perspectiva é a dos matemáticos aplicados. O livro enfatiza a teoria matemática, ou seja, é para matemáticos ou engenheiros aplicados que precisam aprofundar a teoria.

• B. Szabó e I. Babuska "Análise de Elementos Finitos" é um livro bem escrito, onde a história, a teoria e os princípios fundamentais são apresentados por dois fundadores da teoria do MEF. A perspectiva é a dos matemáticos aplicados e contém aplicações em mecânica estrutural.

• MS Gockenbach "Compreendendo e implementando o método dos elementos finitos" é uma boa referência introdutória sobre os conceitos básicos e alguns tópicos avançados do MEF, detalhes relevantes da implementação do MEF, discussão de estratégias práticas de solução. Ele vem com exemplos do Matlab e é uma referência bem escrita para iniciantes. Ele se concentra na teoria da ponte do MEF com aplicações de engenharia.

• I. Babuska, JR Whiteman e T. Strouboulis "Elementos Finitos - Uma introdução ao método e estimativa de erro" procura introduzir uma teoria matemática fundamental do MEF com foco em aplicações de engenharia e entendimento prático, com ênfase específica na estimativa de erro para uso em sistemas adaptativos. FEM. É bem escrito e uma referência útil sobre os assuntos.

Como Jed mencionou métodos descontínuos de Galerkin, pensei em mencionar outros livros úteis sobre métodos espectrais:

Para a teoria:

• Canuto, C. e Hussaini, M. e Quarteroni, A. e Zang, T. Métodos espectrais: fundamentos em domínios únicos (2006)
• Canuto, C. e Hussaini, M. e Quarteroni, A. e Zang, T. Métodos Espectrais: Evolução para Geometrias Complexas e Aplicações à Dinâmica de Fluidos (2007)

Se você deseja uma boa introdução à implementação de métodos espectrais, recomendo:

• Kopriva, DA Implementando Métodos Espectrais para Equações Diferenciais Parciais (2009) . As erratas podem ser encontradas aqui .

Divulgação: Kopriva é meu conselheiro. O livro é leve sobre os resultados altamente teóricos que Canuto, et al. abrange e concentra-se estritamente na implementação.

Eu complementaria esta bibliografia com a biblioteca deal.ii. Provavelmente, se você estiver interessado em análise funcional, estimativas de erro etc., este não é o lugar certo para você. Se você quer ter um elemento essencial, mas rigorosa, imagem matemática, além de estratégia de implementação e software, bem, não há lugar melhor para verificar que tutoriais deal.ii .

Deixe-me acrescentar também que as palestras em vídeo de Wolfgangs são um recurso precioso.

O livro Dietrich Braess - Elementos finitos. Teoria, soluções rápidas e aplicações em mecânica dos sólidos oferecem uma boa perspectiva sobre vários tópicos padrão e avançados. Em particular, cap. 3 oferece introduções em muitos tópicos muito diferentes.

Além disso, acho que há duas referências recomendáveis ​​para problemas na análise vetorial, embora sejam trabalhos muito longos e não livros de texto:

• Elementos finitos no eletromagnetismo computacional de Ralf Hiptmair. O artigo apresenta as ferramentas relevantes para os métodos . O leitor deve considerá-lo como um ponto de partida para um estudo mais aprofundado no tópico.$H(\operatorname{curl})$

• O cálculo externo por elementos finitos, técnicas homológicas e aplicações é adequado para aqueles (e somente para a IMO) que desejam entrar na teoria matemática do MEF (para problemas não escalares). Ainda há uma grande variedade de lacunas cada vez menores, mas também é um bom ponto de partida para os métodos relevantes.

Eu gostaria de adicionar

O método dos elementos finitos: teoria, implementação e aplicativos por Mats. G. Larson e Fredrik Bengzon . A principal característica do livro está contida em seu título. Discute teoria, implementação e aplicação. Em contraste com os livros teóricos de elementos finitos usuais que requerem conhecimento de análise funcional, esses livros apenas mantêm os requisitos no mínimo. Como dizem os autores no prefácio do livro, o material deve ser acessível a estudantes com apenas conhecimento de cálculo de várias variáveis, equações diferenciais parciais básicas e álgebra linear.

Não vale a pena tentar aprender o Método dos Elementos Finitos se um determinado livro não contiver códigos realmente funcionais, bem testados e bem comentados. Há um livro que acompanha um CD que contém a implementação totalmente funcional do método e algoritmos descritos no livro. A página a seguir fornece uma breve descrição do livro e um exemplo:

http://members.ozemail.com.au/~comecau/quad_shell.htm

O livro está disponível no site da Amazon:

http://www.amazon.com/Computational-Geometry-Surfaces-Application-Analysis/dp/0646930818

Espero que isto ajude.