O efeito da dissociação de um sistema acoplado de EDPs

Eu fiz uma pergunta um pouco semelhante anteriormente, mas talvez possa ter sido muito específico para alguém realmente responder. Aqui está um pouco mais geral de uma pergunta com a qual estou lutando. Considere o seguinte sistema:

∂ u

$$-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2})\nabla u_{1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2})$$ $$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2})\nabla u_{2}) = 0$$

assumindo um conjunto geral de BCs: D i ∇ u i ⋅ n = u i , N

$$u_{i} = u_{i,D}, \;\;\;\text{on}\;\Gamma_{D}$$ $$D_{i}\nabla u_{i}\cdot\mathbf{n} = u_{i,N}, \;\;\;\text{on} \;\Gamma_{N}$$

Usando DGFEM para discretizações espaciais e Euler reverso para a derivada de tempo. Nós dissociamos assim:

1. Resolver para usando u k 2 : - ∇ ⋅ ( D 1 ( u k 2 ) ∇ u k + 1 1 ) = ∇ ⋅ f 1 ( u k 2$u_{1}^{k+1}$$u_{2}^{k}$

   $$-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2}^{k})\nabla u_{1}^{k+1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2}^{k})$$

2. Resolver para usando u k + 1 1 : ∂ u $u_{2}^{k+1}$$u_{1}^{k+1}$

   $$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2}^{k+1})\nabla u_{2}^{k+1}) = 0$$

O método de Newton é usado para lidar com a não linearidade.

$$\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) = u_{2}(-\nabla u_{1} + u_{2}\nabla u_{2})$$

tão

$$\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k})$$

$\mathbf{f}_{2}$$u_{1}^{k+1}$$u_{2}^{k}$$u_{2}^{k+1}$$\mathbf{f}_{2}$$u_{2}^{k}$$-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k}$

$\mathbf{f}_{2} = \mathbf{f}_{2}(u_{1,\text{exact}}^{k+1}, u_{2}^{k+1}, u_{2,\text{exact}}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1,\text{exact}}^{k+1} + u_{2,\text{exact}}^{k+1}\nabla u_{2,\text{exact}}^{k+1})$

Esse desempenho abaixo do ideal é esperado no primeiro cenário, devido à dissociação? Sei que a dissociação limitará o intervalo de tempo, mas tenho certeza de que o passo é suficientemente pequeno.

$\mathbf{f}_{2}$$u_{2}\nabla u_{2}$$u_{1}^{k+1}$

Eu não tinha conseguido encontrar muita literatura sobre o efeito que a dissociação teria na convergência; portanto, se alguém pudesse me apontar na direção certa ou oferecer alguns conselhos, isso seria ótimo.

Definitivamente, isso é conhecido como um esquema de divisão e é muito popular na óptica não linear e nas simulações quânticas, um exemplo é a equação dirac, mas você também pode fazê-lo no PDES não linear.

$u_1^{k+1}$$u_2^k$$u_1^{k+1}$$u_2^{k+1}$

$u_1$$u_2$$u_1$$u_2$$Lu_1$$f=\nabla \cdot f_2(u_2)$$G(x;u_2)$$LG=\delta(x-s)$$u_1$

$u_1=\int_{\Omega} G((x-s);u_2)fds$

$u_2^{k+1}$$u_1^{k+1}$$u_2^{k+1}$

Definitivamente, existe flexibilidade nesse desacoplamento ou divisão, o que poderia resultar em um bom esquema em suas equações. Uma boa introdução à divisão no contexto em que você está interessado pode ser encontrada no capítulo 13 'Divisão e seus primos' de Boyd 'Chebyshev e Fourier Spectral Methods'.

Espero que isto ajude

É um pouco difícil dizer sem saber exatamente o PDE que você está solucionando; Dito isto, alguns lugares para talvez procurar são

1. Para sistemas lineares acoplados , os métodos Uzawa e Lagrangiano aumentado são exemplos de esquemas gerais de divisão. Existem resultados conhecidos sobre a convergência desses métodos com base nos espectros dos blocos e no complemento de Schur do sistema de blocos acoplados (ver Bramble et al, na solução de problemas do ponto de sela).
2. Existe uma grande quantidade de material sobre diferentes métodos de divisão para PDEs. Embora estes sejam amplamente formulados para problemas lineares, há amplo uso e teoria para sua extensão a equações não lineares - por exemplo, pelo menos para os PDEs não lineares que governam os tipos de difusão por convecção e fluxo incompressível, os esquemas de divisão / projeção têm uma história bastante rica .

$u_1$$u_2$$u_1$$u_2$