Sobre a completude da Tabela Periódica de Elementos Finitos

Em um artigo recente da SIAM News , há um longo artigo descrevendo uma organização sistemática dos elementos finitos, apropriadamente apelidada de Tabela Periódica dos Elementos Finitos . É realmente muito fascinante ver como a classificação pode ser realizada através do cálculo externo de elementos finitos. Como os autores indicam:

Assim como o arranjo dos elementos químicos em uma tabela periódica levou à descoberta de novos elementos, a tabela periódica de elementos finitos não apenas esclareceu os elementos existentes, mas também destacou buracos em nosso conhecimento e levou a novas famílias de elementos finitos adequados para certos elementos. propósitos.

A analogia me fascina e me faz pensar se é possível preencher todos os "buracos" possíveis da mesma maneira que os elementos materiais ausentes foram encontrados. Talvez isso possa estar estendendo a analogia muito longe, mas estou curioso para saber se todas as possíveis "lacunas" nos elementos finitos foram totalmente exploradas e desenvolvidas de acordo com essa abordagem de classificação de cálculo exterior por elementos finitos. Se não, quais são os "métodos ausentes" mais importantes que a pesquisa está atualmente focada no desenvolvimento e por quê? Além disso, existem métodos de elementos finitos que não podem ser classificados por essa abordagem (além da óbvia omissão de simplicidades de formas arbitrárias ...)?

Isenção de responsabilidade: Na verdade, eu não trabalho neste campo (apenas acho interessante), para que eu possa estar entendendo mal algumas das idéias. Desculpas se isso acontecer e, por favor, corrija-me se você encontrar um erro.

Uma observação - elementos finitos não são exatamente equivalentes a métodos de elementos finitos. Estes são elementos definidos por Ciarlet - espaços de aproximação dimensional finita com graus de liberdade definidos como funcionais lineares para o espaço. Os métodos de elementos finitos podem ser um conjunto muito mais amplo de discretizações (por exemplo, estabilizações da forma fraca, truques discretos etc.).

Doug Arnold tem uma boa amostra do trabalho atual na veia da tabela SIAM. Uma parte interessante foi a extensão dessa idéia ao grupo de elementos finitos de acaso, o que lhe permitiu gerar uma nova família de elementos finitos de acaso 3D. Annalisa Buffa também encaixou discretizações de spline B nesse quadro de formas diferenciais.

Muitas das idéias acima envolvem uma reprodução em dimensões finitas de um complexo de De Rham para formar "discretizações compatíveis" (a estabilidade de elementos finitos mistos está ligada à idéia geral de compatibilidade em discretizações). A compatibilidade também está presente em Maxwells e nos problemas de enrolamento , onde isso fornece estabilidade do método e uma reprodução precisa do espectro do operador. Fora do FEM, os métodos de diferenças finitas miméticas também parecem estar relacionados a esses conceitos (embora estejam intimamente relacionados aos métodos FEM mistos, então não tenho certeza de quão especial é isso).

Mais recentemente, Arnold apresentou elementos finitos para elasticidade com base em um complexo separado de "elasticidade", e John Evans reproduziu essa idéia para Stokes, definindo uma base para problemas de fluxo incompressíveis com base em um "complexo de Stokes" . Se o problema completo, incluindo a condição de livre de divergência, for discretizado, a discretização resultante poderá ser mostrada como sendo livre de divergência no sentido dos pontos (não de maneira fraca). Gerritsma e Hiemstra argumentam que você pode usar as mesmas idéias geométricas para construir discretizações de alta ordem que satisfaçam as propriedades exatas de conservação para uma variedade de leis de conservação.

TL; DR - para a tabela periódica do MEF: elementos exóticos e não tradicionais? Para a idéia de agrupar o MEF em famílias: discretizações compatíveis e modelagem geométrica da física?