Motivação por trás do método Galerkin

Eu tenho uma pergunta sobre o método Galerkin. Não entendo por que o método Galerkin pesa o residual pelas funções de forma e o define como zero. Eu quero saber o que é a razão disso. Por que devemos definir pesos funções residuais iguais a zero?

Quando estudei o método dos elementos finitos na faculdade, essa noção de multiplicar por uma função de peso também era muito estranha para mim. Eventualmente, encontrei uma analogia agradável (embora não rigorosa) que me ajudou a entendê-la. Essa analogia é baseada na geometria vetorial 3D e no entendimento de projeções e produtos pontuais.

Geometria 3D

Imagine um avião 2D em algum lugar no espaço euclidiano 3D. Esse plano pode ter o intervalo de dois vetores e v 2 . Assim, qualquer vetor w no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores; ou seja, w = c 1 v 1 + c 2 v $v_1$$v_2$$w$$w=c_1v_1+c_2v_2$

Agora imagine um ponto no espaço 3D que não esteja no avião. Considere a pergunta: De todos os pontos do avião, qual é o ponto mais próximo de Q ? É o ponto w (não mostrado na imagem acima) que fica na linha que passa pelo ponto Q e perpendicular ao plano. O ponto w também é conhecido como projeção ortogonal de Q no plano. Embora não conheçamos as coordenadas desse ponto w , sabemos que o vetor entre Q e w é perpendicular a todos os vetores que definem o plano, ou seja, v $Q$$Q$$w$$Q$$w$$Q$$w$$Q$$w$$v_1$e . Perpendicular também significa que o produto escalar é zero. Se denotarmos o vetor entre Q e w como → Q - → w , forçar → Q - → w a ser perpendicular ao plano também implica$v_2$$Q$$w$$\vec{Q}-\vec{w}$$\vec{Q}-\vec{w}$

$$(\vec{Q}-\vec{w})\cdot v_1=0$$

e

$$(\vec{Q}-\vec{w})\cdot v_2=0$$

Isso resulta em um sistema de equações que podemos resolver. Observe também que para construir , devemos conhecer a coordenada de $\vec{Q}-\vec{w}$$Q$

Analogia para o método Galerkin

Vamos supor que a solução seja uma combinação linear finita de funções N 1 , ..., N k ; assim, u h = C 1 N 1 + . . . + C k N k . Essa combinação linear atua como o plano na discussão acima. $u_h$$N_1$$N_k$$u_h=C_1N_1+...+C_kN_k$

Agora, vamos supor que exista alguma solução exata , que não sabemos. Esta solução de retorno é como o ponto no espaço 3D que não está no plano.$u$$u$

No método galerkin, procuramos a solução em um espaço (plano) mais próximo da solução verdadeira (ponto que não está no plano). Nesse sentido, a "melhor solução" é a escolha de que a diferença u - u h é perpendicular ao espaço u h . Note-se que para espaços de funções, o "ponto-produto" é definido pela integral de seu produto, ou seja, < u , v > = ∫ ohms u v . Então, perpedicular implica que o produto escalar entre u - u he todas essas bases funcione N $u_h$$u-u_h$$u_h$$<u,v>=\int_\Omega u v$$u-u_h$$N_1$, ..., deve ser zero, ou seja,$N_k$

. . . ∫ ohms (u- u h ) N k =

$$\int_\Omega (u-u_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (u-u_h)N_k = 0$$

Agora, você pode estar dizendo para si mesmo, "todo este restos de configuração crítica na suposição de que sabemos a solução exata antes do tempo. Mas a verdade é que nós geralmente não sei u a priori. Em qual caso, como pode possivelmente computamos u - u h em todas essas equações?$u$$u$$u-u_h$ "Estou tão feliz que você perguntou!

A verdade é que não podemos e não avaliam diretamente. Mas nós sabemos o que u e u h devem satisfazer; ou seja, o PDE. $u-u_h$$u$$u_h$

Suponha que seu problema PDE original está

$$-\nabla\cdot\left(k(x)\nabla u\right)=f$$

Também poderíamos reescrever isso como

onde o operador A é definido pela expressão Um u = - ∇ ⋅ ( k ( x ) ∇ u

$$Au=f$$ $A$$Au=-\nabla\cdot\left(k(x) \nabla u \right)$

Portanto, em vez de considerar a diferença absoluta entre as soluções , consideramos a diferença residual A u - A u h em todas as equações (perpendiculares). Ou seja, não considerar o que u e u h são, mas sim o que u e u h satisfazem vez. Substituindo a diferença absoluta pela diferença residual nas equações (perpendiculares) acima, podemos escrever$u-u_h$ $Au - Au_h$$u$$u_h$$u$$u_h$

. . . A Ω (Au-A u h ) N k =

$$\int_\Omega (Au-Au_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (Au-Au_h)N_k = 0$$

Novamente, ainda não sabemos o que é, portanto isso pode não parecer muito útil. Mas, na verdade, podemos substituir um u com o conhecido termo fonte f (desde A u = f ). Assim, obtemos as equações$u$$Au$$f$$Au=f$

. . . ∫ ohms (f-Um u h ) N k =

$$\int_\Omega (f-Au_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (f-Au_h)N_k = 0$$

Assim, a aplicação residual para ser ortogonal para os resultados indicados no espaço de um sistema de equações que se pode resolver para os coeficientes . $C_1,...,C_k$

Sumário

A explicação acima é uma "analogia" grosseira. Eu realmente não deduzi nada ou dei uma prova razoável de que pode ser substituído por A u - A u he ainda produz uma aproximação aproximada. Também não expliquei nada sobre como obter uma forma fraca do PDE ou sobre como escolher os espaços onde N 1 . . . N k mentem.$u-u_h$$Au-Au_h$$N_1...N_k$

$N_1$$N_k$$u$

$u$ $u$

$-\Delta u = f$$u$$r(u) = -\Delta u - f = 0$$u$$u_h$$u_h$$r(u_h)=0$$u_h$

$u_h=\sum_i U_i \varphi_i$$N$$\varphi_i$$U_i$$N$$\left<\varphi_i,r(u_h)\right>=0$

$\left<\psi_i,r(u_h)\right>=0$$\psi_i$$N$$\varphi_i$

Tenho um pouco mais de material sobre esse assunto na aula 4 em http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html .

Boris Grigoryevich deseja que você não seja capaz de criar resíduos com as mesmas funções que você usou para criar a solução.

Embora essa pergunta seja antiga e tenha sido respondida por muitas pessoas inteligentes, só quero anotar a intuição que uso para explicar o método de Galerkin às pessoas.

O objetivo em nossa situação é encontrar a solução mais próxima possível de alguma equação residual contínua:

$$r(u) = 0$$

$i^{th}$$\phi_{i}(x)$$u_{h} = \sum_{i}^{n} a_{i} \phi_{i}(x)$$r(u_{h}(x))$

$$\int_{\Omega} r(u_{h}(x)) \phi_i(x) dx = 0 \;\;\; \forall i$$

Essa expressão integral pode ser vista como um produto interno, escrito como:

$$\left< r(u_{h}), \phi_i\right> = 0 \;\;\; \forall i$$

Do ponto de vista deste produto interno, a Projeção Galerkin força o erro residual a ser ortogonal à escolha das funções básicas. Portanto, embora possa haver um erro real associado ao uso de uma representação dimensional mais baixa da solução, a Galerkin Projection visa minimizar o componente de erro associado à base escolhida.

Lembre-se de que quando você multiplica a equação de forma forte pela função shape, a função shape é arbitrária . Portanto, ao exigir que o resíduo seja ortogonal a qualquer função de forma, esse resíduo é de fato muito próximo de zero.

Isso não é o mesmo que exigir que o resíduo seja zero exatamente, mas um requisito um tanto enfraquecido que a solução discreta pode atender.