Discretização de elementos finitos no espaço-tempo para PDEs dependentes do tempo

Na literatura do MEF, métodos semi-variacionais são normalmente usados ​​na solução de EDPs dependentes do tempo. Não vi uma abordagem totalmente variacional, ou seja, onde o espaço e o tempo são discretizados pelo MEF, talvez permitindo o uso de malhas não estruturadas do espaço-tempo. Embora os métodos de escalonamento de tempo possam ser mais fáceis de implementar, existe uma razão específica pela qual a malha espaço-tempo não é viável? Imagino que seja necessário adaptar malhas para respeitar as propriedades físicas de um determinado problema, mas não tenho certeza.

A discretização total do espaço-tempo das equações diferenciais parciais dependentes do tempo é realmente uma coisa. Se você usar uma malha estruturada no tempo (no sentido de que a discretização do tempo não depende do espaço) e a escolha apropriada de funções de teste e teste, poderá ajustar vários métodos padrão de escalonamento do tempo (Crank-Nicolson, Euler implícito ou algum Runge Esquemas de -Kutta) em uma estrutura de Galerkin, que oferece uma abordagem elegante para análise. Isso é descrito, por exemplo, no livro de Thomée, Métodos de elementos finitos de Galerkin para problemas parabólicos (Springer, 2ª ed., 2006) ou no artigo de Chrysafinos e Walkington Estimativas de erro para os métodos descontínuos de Galerkin para equações parabólicas (SIAM J. Numer. Anal. 44.1, 349-366, 2006).

O uso de uma malha totalmente não estruturada é menos comum, mas pode fazer sentido para problemas hiperbólicos nos quais você tem um transporte de informações ao longo das características. Se você usar uma formulação descontínua de Galerkin, cada elemento do espaço-tempo se unirá apenas ao elemento vizinho por meio de termos de face (você não possui requisitos de continuidade global) e poderá usar um processo de varredura para calcular a solução, passando de elemento para elemento ao longo das características - uma espécie de passo "oblíquo". Obviamente, isso é muito mais difícil de implementar, mesmo que não exija o armazenamento da malha espaço-tempo completa (o que pode ser proibitivo). Por outro lado, você obtém a vantagem de malhas não estruturadas de permitir o refinamento local (adaptável) e, portanto, o tempo adaptado localmente.Métodos de elementos finitos no espaço-tempo para elastodinâmica: formulações e estimativas de erro , Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 66 (3): 339-363, 1988 . Há também uma tese de doutorado de Shripat Thite sobre a malha do espaço- tempo para métodos descontínuos de Galerkin .

Outro contexto em que vi essa ideia está na otimização com restrição de PDE para problemas parabólicos. Lá, você pode formular as condições de otimização necessárias de primeira ordem como um sistema acoplado de equações para frente e para trás, que você pode interpretar como a formulação mista de uma equação elíptica de 2ª ordem no tempo, 4ª ordem no espaço com a equação inicial-final (e condições). Ao fazer uma discretização adaptativa do espaço-tempo desse sistema acoplado, você pode ter uma abordagem eficiente para calcular a solução, consulte Gong, Hinze, Zhou: Aproximação por elementos finitos no espaço-tempo dos problemas de controle ótimo parabólico , J Numer. Matemática. 20 (2): 111-145 (2012) .

Existem artigos mais recentes sobre métodos espaço-temporais. Há um de Steinbach, Elemento Finito Espaço-Tempo e outro de Langer et. Análise isogeométrica espaço-temporal, abordando todos os problemas de evolução parabólica. Nos dois artigos, eles descrevem vividamente as formulações variacionais, mas em diferentes contextos. Como os títulos sugerem, o primeiro usa o FEM e o último IgA. Eu acho que isso fornece boas informações, particularmente sobre o que você procura.

No último capítulo da segunda edição da monografia Matemática Numérica, Quatteroni et. al , há uma seção no Espaço-Tempo, que também pode ser útil especialmente com conexões para os esquemas.$\theta-$

A implementação Space-Time do produto tensor é muito diferente das baseadas em não-tensor. O último é um pouco complicado, especialmente para o FEM.