Qual é o objetivo da função de teste na Análise de Elementos Finitos?

Na equação de onda:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

Por que multiplicamos pela função de teste $v(x,t)$ antes de integrar?

finite-element Andy
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Resposta curta: Como o método dos elementos finitos é uma discretização da formulação fraca, não a formulação forte (que você forneceu). Resposta média: porque você não pode ter certeza de encontrar uma função de dimensão finita, de modo que a equação seja satisfeita; na melhor das hipóteses, você pode esperar que o resíduo seja ortogonal ao espaço da solução de dimensão finita - ou equivalente, ortogonal a qualquer elemento desse espaço (que é precisamente uma função de teste). A integração por partes não é tão importante e, no seu caso, por uma questão de simetria. Resposta longa é muito tempo para um comentário :)

Christian Clason

Outra breve explicação: se você apenas integra e define como zero, está pedindo que a média desapareça - de maneira alguma o que você está procurando, porque o resíduo pode ser muito grande em uma parte do domínio, desde que é grande com sinal oposto em outro. O teste funciona em essência "localizar" o resíduo para cada elemento.

Christian Clason

Para obter uma explicação alternativa, consulte esta resposta: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

Paul

Respostas:

Você está voltando atrás. A justificativa é melhor vista partindo da configuração variacional e trabalhando em direção à forma forte. Depois de fazer isso, o conceito de multiplicar por uma função de teste e integrar pode ser aplicado a problemas nos quais você não inicia com um problema de minimização.

Portanto, considere o problema em que queremos minimizar (e trabalhando formalmente e sem rigor aqui):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

sujeito a algumas condições de contorno em . Se queremos que alcance um mínimo, precisamos diferenciá-lo em relação a , que é uma função. Agora, existem várias maneiras bem conhecidas de considerar esse tipo de derivada, mas uma maneira que ela é introduzida é calcular $\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

onde é apenas um escalar. Você pode ver que isso é semelhante à definição tradicional de um derivado para funções escalares de uma variável escalar, mas estendida a funcionais como que devolvem escalares, mas têm domínio sobre as funções. $h$ $I$

Se calcularmos isso para o nosso (principalmente usando a regra da cadeia), obteremos $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

Definindo isso como zero para encontrar o mínimo, obtemos uma equação que se parece com a afirmação fraca da equação de Laplace:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Agora, se usarmos a Divergence Theorm (também conhecida como integração multidimensional por partes), podemos tirar uma derivada de e colocá-la em para obter $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Agora, isso realmente parece onde você começa quando deseja criar uma declaração fraca a partir de uma equação diferencial parcial. Dada essa idéia agora, você pode usá-la para qualquer PDE, basta multiplicar por uma função de teste, integrar, aplicar o Teorema da Divergência e depois discretizar.

Bill Barth
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Eu preferiria explicá-lo em termos de minimizar o resíduo ponderado.

nicoguaro

@nicoguaro, OK, então você pode escrever essa resposta e veremos qual faz mais sentido para o OP. :)

Bill Barth

+1 por apontar que a forma fraca é realmente (ou pelo menos frequentemente) mais natural que a forma forte.

Christian Clason

Interessante. Uma espécie de tangente, mas em relação a "Agora existem várias maneiras bem conhecidas de considerar esse tipo de derivada" : o único método que aprendi é o que você mencionou. Que outros tipos existem?

user541686

h

$h$

Como mencionei antes, prefiro pensar na forma fraca como um resíduo ponderado.

$\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

$R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

$w$ $\hat{u}$

Se você selecionar o primeiro caso, terá uma equação como a descrita por @BillBarth.

nicoguaro
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