O que a análise de estabilidade de Von Neumann nos diz sobre equações de diferenças finitas não lineares?

Estou lendo um papel [1] onde eles resolver o seguinte não-linear equação usando métodos de diferenças finitas. Eles também analisam a estabilidade dos esquemas usando a análise de estabilidade de Von Neumann. No entanto, como os autores percebem, isso é aplicável apenas aos PDE lineares. Portanto, os autores resolvem isso "congelando" o termo não linear, ou seja, eles substituem o termo u u x por U u x , onde U é "considerado como representando localmente valores constantes de

Então, minha pergunta é dupla:

1: como interpretar esse método e por que (não) funciona?

2: poderíamos também substituir o termo termo u U x , onde U x é "considerado como representando localmente valores constantes de u x "?$uu_x$$uU_x$$U_x$$u_x$

Referências

1. Eilbeck, JC e GR McGuire. "Estudo numérico da equação de onda longa regularizada I: métodos numéricos". Journal of Computational Physics 19.1 (1975): 43-57.

O que você está dizendo é chamado de linearização. É uma técnica comum usada na análise de EDPs não lineares. O que é feito é lançar equações no formato,

$u_t+Au=0$

Aqui A é uma matriz resultante da linearização da equação.

Agora, para suas perguntas,

1. Como você está pensando, funciona até certo ponto, mas não até certo ponto. A utilidade é que a estabilidade pode ser comprovada para sistemas lineares, mas não prontamente para sistemas não lineares. Portanto, os resultados lineares são estendidos aos sistemas não lineares. Freqüentemente, diferentes métodos são adotados para casos particulares. Por exemplo,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

qual é a forma de conservação. Assim,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

quando representado em um sentido de volume finito, limita a evolução de u.

2. Qual é a utilidade de fazer a substituição. Você removerá a equação de uma forma de equação de onda. O que significaria que as soluções não se comportariam como uma equação de onda. Portanto, na análise de estabilidade, as soluções de teste também teriam que ser completamente diferentes e pouco físicas.

Para elaborar o argumento de linearização, em uu_x você deseja assumir que u é localmente constante, e não u_x, por duas razões: a) u varia mais lentamente que sua derivada eb) nesse caso em particular, se você assumir que u_x é localmente constante , por definição, você também presume que u é localmente linear, o que significa que derivadas espaciais mais altas são zero e isso não apenas introduz um erro de aproximação adicional, como também pode implicar que você esteja jogando fora o bebê com a água do banho, dependendo da sua equação.