Papel do fluxo numérico no DG-FEM

Estou aprendendo a teoria por trás dos métodos DG-FEM usando o livro Hesthaven / Warburton e estou um pouco confuso sobre o papel do 'fluxo numérico'. Peço desculpas se essa é uma pergunta básica, mas procurei e não encontrei uma resposta satisfatória.

Considere a equação da onda escalar linear:

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$$ onde o fluxo linear é dada como$f(u) = au$.

Conforme introduzido no livro de Hesthaven, para cada elemento , terminamos com N equações, uma para cada função básica, reforçando que o resíduo desaparece fracamente:$k$$N$

$$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$$

$$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$$

Bem. Então, passamos pela integração por partes uma vez para chegar à 'forma fraca' (1) e integramos por partes duas vezes para obter a 'forma forte' (2). Adotarei a forma integral de superfície do tipo excedente de Hesthaven, mas facilmente generalizada, em 1D:

(1)

$$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$$

(2)

$$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$$

Por que escolhemos um fluxo numérico? Por que não vamos usar o valor de no limite em (1) em vez de usar um fluxo? Sim, é verdade que o valor dessa quantidade pode ser multiplicado por vários elementos, mas cada equação tem apenas mais de 1 elemento D k , então por que isso importa?$au_h^k$$D^k$

Além disso, o termo limite da segunda integração por partes produz claramente uma quantidade diferente na segunda vez em (2), o que não faz sentido para mim. Estamos fazendo a mesma operação! Por que os dois termos-limite simplesmente não se cancelavam, tornando (2) inúteis? Como introduzimos novas informações?$au_h^k$

Claramente, estou perdendo algo crucial para o método e gostaria de corrigir isso. Fiz algumas análises reais e funcionais; por isso, se houver uma resposta mais baseada em teoria sobre a formulação, gostaria de saber!

O fluxo numérico é escolhido para garantir que as informações no problema viajem na direção das curvas características da equação (contra o vento). Conforme mencionado nos comentários, o fluxo numérico é necessário para acoplar os subproblemas definidos em cada elemento.

Uma maneira de obter uma intuição para o papel do fluxo numérico é considerar o seguinte exemplo simples.

Considere a equação de advecção escalar (onde, por simplicidade, $a=1$ )

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$$ $\Omega = [0,1]$$x = 0$$x = 1$$u(0,t) = g_D$$g_D$

$D_1 = [0,1/2]$$D_2 = [1/2,1]$

$$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$$

$D_1$$D_2$

$D_1$$v(0,t) = g_D$$D_2$$w(1/2,t) = v(1/2,t)$

$\psi$$D_k$

$$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$$ $v$$w$$D_1$$D_2$$v(0,t)$$g_D$$w(1/2,t)$$v(1/2,t)$

$u_h^* = g_D$$x = 0$$u_h^* = v(1/2,t)$$x=1/2$

Observando as coisas desta maneira, podemos considerar as funções de fluxo numérico como uma aplicação fraca das condições de contorno em cada elemento necessário para acoplar as equações de maneira a respeitar a estrutura característica das equações.

Para equações mais complicadas que a advecção de coeficiente constante, as informações podem não se propagar sempre na mesma direção e, portanto, o fluxo numérico deve ser determinado resolvendo (ou aproximando a solução) de um problema de Riemann na interface. Isso é discutido para problemas lineares na Seção 2.4 do livro de Hesthaven.

Em poucas palavras, existem duas coisas que a maioria das técnicas de discretização precisa para convergir para a solução real do seu PDE à medida que você aumenta a qualidade de aproximação, independentemente de estar usando DG ou não:

1. $u$
2. Estabilidade (pequenas alterações nos dados resultam em pequenas alterações na resposta)

As primeiras etapas de uma derivação DG, na qual você integra partes em cada elemento da malha, preservam (1) porque você está começando com o PDE e aplicando apenas operações legais a partir daí.

Isso não fornece a você (2). Você pode ver isso tentando montar a matriz de uma forma fraca de DG parcialmente formulada e analisando seus valores próprios - para problemas dependentes do tempo, queremos todos no meio plano esquerdo, mas sem um fluxo numérico adequado, eles estarão em todo lugar. Isso leva a uma solução que explode exponencialmente no tempo, mesmo que o problema físico não o faça.

$u$

O truque é fazer combinações de saltos e médias e combiná-las de uma maneira que seu esquema ainda seja consistente, mas também estável. Depois disso, um teorema da convergência geralmente se revela.

Esse é o básico, mas também é possível introduzir física adicional no fluxo numérico, para que ele não satisfaça simplesmente esses requisitos matemáticos, mas também jogue bem com os princípios de conservação.

Ao escolher a função de teste igual à função de teste no método DG, você está criando um problema de otimização. Ou seja, você tem um método Galerkin em vez de um método Petrov-Galerkin. Você está procurando as derivadas temporais das amplitudes da função de teste que minimizarão o elemento residual na norma L2 e faz essa miminimização na suposição de uma determinada função de fluxo na entrada.