Equação local da DG, como interpretar a função de teste com média

No artigo http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782509003521 , uma equação local elemento-HDG é descrita na página 584 equação (4), com uma das equações da seguinte forma:

- (u_{h}, \nabla q)_{K} = - {⟨ {\hat{u}}_{h} \cdot n, q - \bar{q} ⟩}_{\partial K}

$-(u_h,\nabla q)_K = -\left\langle\hat{u}_h \cdot n, q - \bar{q}\right\rangle_{\partial K}$

Qual é a aproximação variacional à equação contínua , com uma função de teste com valor escalar em um espaço que faz sentido. $\nabla \cdot u = 0$ $q$

O artigo define .

\bar{q} = \frac{1}{| \partial K |} \int_{\partial K} q

$\bar{q} = \frac{1}{|\partial K|} \int_{\partial K} q$

Como isso é interpretado, no sentido de elementos finitos? Pelo meu entendimento, multiplicamos ambos os lados por uma função de teste e, em seguida , tentamos encontrar a solução que satisfaça a equação para todas as opções possíveis de . Como é possível modificar o espaço de teste dessa maneira? $q$ $q$

O documento também afirma que isto é necessário para impor a identidade Eu concordo com esta afirmação, mas como pode uma função de teste ser implementado no código? Devo tomar as funções básicas do elemento e subtrair sua média ao montar o sistema linear local do elemento?

{⟨ {\hat{u}}_{h} \cdot n, q - \bar{q} ⟩}_{\partial K} = 0

$\left\langle\hat{u}_h\cdot n, q - \bar{q}\right\rangle_{\partial K} = 0$

q - \bar{q}

$q - \bar{q}$

finite-element discontinuous-galerkin user3482876
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Você já tentou entrar em contato com os autores do artigo?

Paul

Respostas:

$q$ $q^*$

\int_{Ω} q^{*} d x = \int_{Ω} (q - \bar{q}) d x = 0

$\int_{\Omega}{q^*\,dx} = \int_{\Omega}{(q-\overline{q})\,dx} = 0$

HBR
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Na prática, como se implementaria um espaço com "média nula"? Você tem uma referência?

User3482876 de

A função de teste sobre a qual o PDE é projetado é definida como qualquer função de teste (dependente das coordenadas, como você a entende) menos o valor médio (simplesmente uma constante). Portanto, o gradiente dessa função de teste elimina essa constante subtraída à função de teste. Essa constante é definida globalmente. E você pode calculá-lo desde o início. Se as funções básicas adicionam um a cada ponto (elas são interpolantes), apenas essa constante coincide com a área do seu domínio em 2D.

HBR

Eu li que ele realmente é discreta Galerkin, portanto, esta constante é igual à área do elemento (se a base add para um)

HBR