Impor as condições de compatibilidade para o método dos elementos finitos mistos na equação de Stokes

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ Suponha que tenhamos a seguinte equação do modelo de fluxo Stokes:

$$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$$ onde a viscosidade $\nu(x)$ é uma função, para o elemento finito misto padrão, diz-se que usamos o par estável: espaço Crouzeix-Raviart $\v{V}_h$ para a velocidade $\v{u}$ e o espaço constante entre elementos $S_h$ para a pressão $p$ , temos a seguinte forma variacional:

$$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$$

e sabemos que, como o multiplicador Lagrange $p$ pode ser determinado até uma constante, a matriz finalmente montada deve ter um espaço nulo $1$ ; para contornar isso, poderíamos forçar a pressão $p$ de um certo elemento como zero, para que não precisemos resolver um sistema singular.

Então, aqui está a minha pergunta 1:

• (Q1) Existe outra maneira de aplicar $p=0$ em algum elemento para eliminar o kernel do elemento finito misto padrão? ou, digamos, qualquer solucionador por aí capaz de resolver o sistema singular para obter uma solução compatível? (ou algumas referências são bem-vindas)

E sobre a compatibilidade, pois (1) deve ser e o pequeno truque é calcular como o que obtivemos da solução de o sistema linear subtraído por sua média ponderada: ~ p p ~ p = p -

$$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$$ $\tilde{p}$$p$ $$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$$

No entanto, recentemente implementei um elemento finito misto estabilizado para a equação de Stokes por Bochev, Dohrmann e Gunzberger$P_1-P_0$˜ L ([u,p],[v,q])= L ([u,p],[v,q])- ∫ Ω (p- Π 1 p)(q- Π 1 q)= ∫ Ω f⋅v , no qual eles adicionaram um termo estabilizado à formulação variacional (1): onde é a projeção do espaço constante por partes para o contínuo por partes , e o núcleo constante do elemento finito misto original se foi, no entanto, coisas estranhas aconteceram (2) não não funcionou mais, cunhei o problema do teste de

$$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$$ $\Pi_1$$P_0$$P_1$um problema de interface para a equação de difusão , é isso que eu tenho para a pressão , a correta é a verdadeira solução e a esquerda é a aproximação numérica:$p$

no entanto, se for uma constante, o problema do teste funcionará perfeitamente: $\nu$

Eu estou supondo que é porque, da maneira como estou impondo a condição de compatibilidade, uma vez que está vinculada à estabilidade inf-sup de todo o sistema, aqui está minha segunda pergunta:

• (Q2): existe outra maneira além de (2) de impor a compatibilidade para a pressão ? ou ao cunhar o problema do teste, que tipo de devo usar?$p$$p$

A condição de compatibilidade diz respeito à velocidade, não à pressão. Ele afirma que se você tiver apenas condições de limite de Dirichlet para a velocidade, elas deverão ser compatíveis com a restrição livre de divergências, ou seja, com o limite da domínio computacional (não a célula).$\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$$\partial \Omega$

Nesse caso, não pode ser distinguido de com uma constante arbitrária porque você não possui condição de limite em para corrigir a constante. Portanto, existem infinitas soluções para a pressão e, para comparar soluções, é necessária uma convenção. Os matemáticos preferem escolher tal que (porque eles podem se integrar), enquanto o físico prefere (porque eles podem medir em um ponto). Se é seu equivalente discreto de , isso implica que$\nabla p$$\nabla (p + c)$$c$$p$$c$$\overline{p}=p_\mathrm{ref}$$p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$$Bp$$\nabla p$$B$ possui um espaço nulo que consiste no vetor de identidade.

Os métodos do subespaço Krylov podem resolver um sistema singular removendo o espaço nulo do subespaço Krylov no qual eles procuram a solução. No entanto, isso não significa que você obterá a solução que corresponde a uma determinada convenção; sempre será necessário determinar a constante em uma etapa de pós-processamento; nenhum solucionador pode fazer isso por você.$p$

Aqui estão algumas sugestões para resolver seu problema:

• $\nu$$x$
• Seu campo de velocidade atende à restrição de compatibilidade?
• $p$$p-p_\mathrm{exact}$
• $B$

Quanto a (Q1), você pode escolher um solucionador de problemas de ponto de sela que calcule uma solução de mínimos quadrados para o seu sistema. Em seguida, uma condição adicional pode ser imposta ao multiplicador, como definir um grau específico de liberdade, impondo uma média específica.

Em geral, e acho que isso responde (Q1), você pode usar uma restrição linear que pode distinguir diferentes constantes.

Essa restrição pode ser imposta em uma etapa de pós-processamento ou por uma escolha apropriada do espaço de teste (por exemplo, se você deixar de fora um grau de liberdade).