Alternativas à análise de estabilidade de von neumann para métodos de diferenças finitas

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Estou trabalhando na resolução das equações de poroelasticidade unidimensional acopladas (modelo de biot), dadas como:

(λ+2μ)2ux2+px=0
t[γp+ux]κη[2px2]=q(x,t)
no domínio e com as condições de contorno: Ω=(0,1)

p=0,(λ+2μ)ux=u0 em e u = 0, \ frac {\ parcial p} {\ parcial x} = 0 em x = 1 .u = 0 , px=0x=1você=0 0,px=0 0x=1

Eu discretizei essas equações usando um esquema de diferença finita centrada:

γp t + 1 i -p t i

(λ+2μ)ui+1t+12uit+1+ui1t+1Δx2+pi+1t+1pi1t+12Δx=0
γpit+1pitΔt+ui+1t+1ui1t+12ΔxΔt[ui+1tui1t2ΔxΔt]κη[pi+1t+12pit+1+pi1t+1Δx2]=qit+1

Atualmente, estou elaborando os detalhes da convergência do esquema analisando sua consistência e estabilidade. A parte da consistência parece bastante direta para mim, mas já estou prevendo algumas dificuldades com a análise de estabilidade. Primeiro de tudo, existem duas variáveis ​​e duas equações. Em segundo lugar, há também um termo derivado espaço-temporal misto na segunda equação. Eu estou familiarizado com a análise de estabilidade de von neumann e posso ver que será muito difícil estabelecer estabilidade com esse método. Existem alternativas à análise von neumann que eu possa usar?

Paulo
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Se você não se sentir à vontade para fazer a análise com um sistema de equações, apenas diferencie a primeira equação em relação a a segunda em relação a . Em seguida, use a igualdade de derivadas parciais mistas para eliminar . txu
David Ketcheson
@DavidKetcheson: Interessante. Em essência, você está sugerindo que eu poderia reduzir o sistema a uma única variável e conduzir a análise padrão de von neumann em sem nenhuma perda de generalidade para ? pu
Paul
É o mesmo problema, se você o escreve como um sistema ou como um PDE escalar.
David Ketcheson

Respostas:

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Se você substituir, pelo menos por sua análise, por , poderá escrever seu sistema como onde todas as constantes são definidas como e onde o subscrito se refere à discretização do espaço, tanto das variáveis ​​quanto dos operadores diferenciais. Seu esquema é então obtido aproximando via Euler implícito.uxux

[00II]ddt[ph(t)ux,h(t)]+[hhΔh0][ph(t)ux,h(t)]=[qh(t)0]()
1hddt

Agora a estrutura diferencial-algébrica (DAE) é evidente. Para as variáveis ​​existem equações diferenciais (no tempo) e algébricas.

Se você puder mostrar que é invertível, cf. esta pré - impressão [pág. 3] e a edição abaixo, em que o DAE é do índice 1 ou sabe-se que Euler implícito e sem estranheza é convergente, consulte o Teorema 5.12 neste livro . (Isenção de responsabilidade: este livro não está disponível gratuitamente e foi escrito pelo meu supervisor de doutorado)[hhII]

Com essa abordagem, você pode contornar a análise de estabilidade.

Para uma prova direta da estabilidade de , tentaria usar a Equação para aplicar a análise de estabilidade de von Neumann usando as funções próprias de e investigando o efeito de nas funções próprias.L2()Δhh

No entanto , se a estabilidade não puder ser estabelecida para , isso não significa que seu esquema não é convergente - devido à substituição de . De um modo geral, pode-se esperar estabilidade para esquemas que se aproximam das variáveis ​​reais, e não para esquemas que se aproximam de suas derivadas.()uux

APÊNDICE: Diz-se que um DAE é o índice 1, se puder ser transformado em uma EDO sem diferenciar as equações.

Digamos, o DAE está no formato A invertibilidade de implica que há uma transformação variável que eventualmente troca as colunas dos coeficientes para que com invertível (propriedade de classificação completa de ) e invertível (o complemento de Schur).

[E10]y˙+[A1A2]y=f.
[E1A2]y~y[E1A2][E~11E~12A~21A~22]A~22A2A~11E~12A~221A~21

Para o sistema isso significa que a parte algébrica definida com pode ser usada para resolver uma parte de . Então, pode-se eliminar da parte diferencial (a segunda linha de bloco em ), para obter um ODE para as demais variáveis.()A2:=[h h]y~2(ph,ux,h)ddty~2()

Jan
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Esta é uma técnica muito interessante. Eu olhei para o artigo que você referenciou e estou curioso para saber como você concluiu que devem ser invertíveis . Qual teorema você aplicou?
[hhII]
Paul
@Paul Eu não encontrei um teorema para referência, então vou inserir os argumentos na minha resposta ... #
:
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Não estou familiarizado com as equações apresentadas aqui, mas lembro-me de aprender outro método para verificar a estabilidade de um esquema numérico em meus cursos. É conhecido como análise de equações modificadas.

Aqui está uma boa referência para isso,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

Na referência acima, a conexão entre a teoria da estabilidade baseada na análise de equações modificadas e a análise de estabilidade de Von Neumann é estabelecida.

Depois de um pouco de pesquisa on-line, me deparei com as seguintes referências,

Este artigo discute a modelagem por diferenças finitas das equações poroelásticas de Biot em frequências sísmicas. Também possui uma seção sobre estabilidade do esquema numérico.

Este artigo apresenta uma estratégia de solução para dissociar o sistema acoplado e verificar a estabilidade do esquema numérico.

Subodh
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Não realizei a análise de equações modificada nas equações acima, mas como a pergunta pedia alternativas à análise de Von Neumann, escrevi a resposta acima. É bem possível que não responda à pergunta. Mas alguém pode achar úteis as referências listadas em seu trabalho.
Subodh 23/05
Obrigado pela referência! Percebo que o formulário necessário no seu artigo Análise de equações modificadas não se encaixa perfeitamente nas equações que estou usando, mas é bastante interessante aprender novas técnicas de análise!
Paul