Quais discretizações espaciais funcionam para fluxo incompressível com malhas de limite anisotrópico?

12

Os altos fluxos de número de Reynolds produzem camadas de limite muito finas. Se a resolução de parede for usada na simulação de redemoinho grande, a proporção da imagem pode ser da ordem de 106 . Muitos métodos se tornam instáveis ​​nesse regime porque a constante inf-sup se degrada como raiz quadrada da proporção ou pior. A constante inf-sup é importante porque afeta o número da condição do sistema linear e as propriedades de aproximação da solução discreta. Em particular, os seguintes limites a priori da retenção por erro discreto (Brezzi e Fortin 1991)

μuuhH1C[μβinfvVuvH1+infqQpqL2]pphL2Cβ[μβinfvVuvH1+infqQpqL2]

onde μ é a viscosidade dinâmica e β é a constante inf-sup. A partir disso, vemos que, como β0 , as aproximações de velocidade e (especialmente) pressão tornam-se piores que as melhores disponíveis no espaço de elementos finitos (ou seja, a constante da otimização de Galerkin cresce à medida que β1 e β2 respectivamente).

Quais métodos têm estabilidade inf-sup uniforme, independentemente da proporção?

Qual destes pode ser usado com malhas não estruturadas?

Como as estimativas se generalizam para aproximações de ordem superior?

Jed Brown
fonte

Respostas:

12

Os esquemas de diferenças finitas do MAC (Harlow e Welch 1965) são uniformemente estáveis, mas requerem grades estruturadas suaves e são precisos apenas de segunda ordem.

Os métodos de elementos finitos são preferidos para métodos não estruturados e de alta ordem. Para métodos contínuos de elementos finitos de Galerkin, não há espaços conhecidos que possuam propriedades de aproximação ideais e sejam uniformemente estáveis.

  • QkPk1disc possui propriedades ideais de aproximação e é localmente conservador, mas a constante inf-sup degrada como raiz quadrada da proporção. Veja Bernardi & Maday 1999 para detalhes.

  • QkQk2disc tem uma constante inf-sup independente da proporção e é localmente conservadora, mas a constante inf-sup é escalada como medida que a ordem polinomial é aumentada (Maday et al. 1992) em malhas com forma regular. Em malhas com nós suspensos ou cantos reentrantes, esse limite é nítido em 2D (Schoetzau et al 1998), mas se degrada ainda mais para em 3D (Toselli & Schwab 2003).O(k1d2)k3/2

  • O elemento não conforme girado de Rannacher & Turek 1994 é uniformemente estável, possui propriedades ideais de aproximação e é localmente conservador, mas não satisfaz uma desigualdade discreta de Korn, portanto, precisa de correções de limite para algumas condições de contorno e não pode ser usado para fluxos de viscosidade variável. O trabalho subsequente dos autores buscou estabilizar esses métodos usando fluxos de arestas, mas as discretizações resultantes perdem muitas das propriedades atraentes de eficiência.Q1P0

  • Ainsworth e Coggins 2000 constroem espaços altamente técnicos que se saem um pouco melhor, mas parecem ter utilidade limitada.

Para Galerkin descontínuo, a imagem é um pouco melhor:

  • O espaço descontínuo é uniformemente estável e possui ótimas propriedades de aproximação (Schoetzau, Schwab e Toselli 2004). Essa combinação não está disponível com espaços de velocidade contínuos. A constante inf-sup ainda depende do grau polinomial, no entanto, é escalonado como .QkQk1k3/2
Jed Brown
fonte