Como aplicar adequadamente condições de contorno não homogêneas de Dirichlet com o MEF?

Em geral, as condições de contorno de Dirichlet não serão satisfeitas exatamente para o MEF para condições de contorno não homogêneas. Os códigos do FEM que eu vi definiram os graus de liberdade para interpolar a condição de limite de Dirichlet, mas não encontrei nenhuma justificativa matemática para isso. Parece-me que definir condições essenciais de contorno provavelmente deve minimizar algumas funções do erro (por exemplo, minimizar sobre a parte do limite em que o Dirichlet BC é aplicado), mesmo que isso seja mais caro em termos computacionais.$||u -u_h||$

Existe alguma justificativa para definir o BC dessa maneira? Em caso afirmativo, qual seria a norma adequada?

Há uma justificativa matemática para definir um valor para graus de liberdade de Dirichlet. No entanto, você deve ajustar sua forma variacional de acordo. Se você estiver procurando um problema geral, diga:

Encontrar tal que$u\in\mathcal{U}$

$a(u,w)=l(w) \ \ \forall w\in\mathcal{V}$

Onde

$\mathcal{U}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=g\text{ on }\Gamma_D\}$

$\mathcal{V}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=0\text{ on }\Gamma_D\}$

Em vez disso, pode escrever onde v ∈ V e g é a condição de Dirichlet. Então a forma variacional se torna$u = v + g$$v\in\mathcal{V}$$g$

$a(v+g,w)=l(w)$

ou usando a linearidade de $a(.,.)$

$a(v,w)=l(w)-a(g,w)$

Em um código de elemento finito, você pode formar sua matriz de rigidez de elemento como se não houvesse condições de contorno. Em seguida, você pega a coluna da matriz local que corresponde à condição de limite de Dirichlet, escala-a pelo coeficiente que deseja aplicar e subtrai-a do lado direito. Esta é a forma discreta do que escrevi acima, . Em seguida, você zera a coluna e a linha Dirichlet correspondente, colocando um 1 na diagonal e o coeficiente que deseja aplicar. Isso desacopla a equação do sistema e ainda define o valor que você deseja aplicar.$-a(g,w)$

Eu recomendo O método dos elementos finitos: Análise de elementos finitos estáticos e dinâmicos lineares , de Tom Hughes. Ele tem uma discussão ampliada sobre esse assunto a partir da página 8.

Para adicionar a grande resposta de Nathan com o raciocínio variacional, geralmente é necessário detalhes algorítmicos ao implementar elementos finitos. Por exemplo,

Também tenho uma explicação mais detalhada sobre o assunto em minhas anotações pessoais . Consulte o capítulo "Sistemas lineares restritos".