Equação de Poisson: impor gradiente completo como condição de contorno via multiplicadores de Lagrange

Eu tenho um problema físico governado pela equação de Poisson em duas dimensões Tenho medidas dos dois componentes do gradiente ∂ u / ∂ x e ∂ u / ∂ y ao longo de alguma parte do limite, Γ m , então gostaria de impor ∂

$$-\nabla^2 u = f(x,y), \; in \; \Omega$$ $\partial{u}/\partial{x}$$\partial{u}/\partial{y}$$\Gamma_m$ e propagar no campo distante. $$\frac{\partial{u}}{\partial{x_i}}_0 = g_m, \; on \; \Gamma_m$$

O componente do gradiente tangencial, , que pode apenas integrar e, em seguida, aplicar por meio de uma condição de Dirichlet, de tal modo que ∫ym∂$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)}$ Para impor simultaneamente o componente normal, ∂

$$\int_{\Gamma_m}\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(t,0)} \, ds = u_0$$ , juntei eu teria que ir via multiplicadores de Lagrange.$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}$

Então eu acho que a forma variacional é então Passei muito tempo tentando juntar as informações sobre problemas relacionados, como https://answers.launchpad.net/fenics/+question/212434https://answers.launchpad.net/fenics/+question / 216323

$$\int_\Omega \nabla{u} \cdot\nabla{v}\, dx - \lambda \int_{\Gamma_m} ( \frac{\partial{u}}{\partial{x}}_{(n,0)}-g_m ) v \,ds = \int_\Omega f\, v\, dx$$

mas ainda não consigo ver onde estou errado. Minha tentativa de solução até agora é:

from dolfin import *

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquareMesh(64, 64)
V = FunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)
R = FunctionSpace(mesh, "R", 0)
W = V * R

# Create mesh function over cell facets
boundary_parts = MeshFunction("uint", mesh, mesh.topology().dim()-1)

# Mark left boundary facets as subdomain 0
class LeftBoundary(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and x[0] < DOLFIN_EPS

Gamma_Left = LeftBoundary()
Gamma_Left.mark(boundary_parts, 0)

class FarField(SubDomain):
    def inside(self, x, on_boundary):
        return on_boundary and ( (x[0] > 1.0-DOLFIN_EPS) \
               or (x[1]<DOLFIN_EPS) or (x[1]> 1.0-DOLFIN_EPS) )

Gamma_FF = FarField()
Gamma_FF.mark(boundary_parts, 1)

# Define boundary condition
u0 = Expression("sin(x[1]*pi)")
bcs = [DirichletBC(V, u0, Gamma_Left)]

# Define variational problem
(u, lmbd) = TrialFunctions(W)
(v, d) = TestFunctions(W)

f = Expression("10*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")
g = Constant(0.0)
h = Constant(-4.0)
n = FacetNormal(mesh)

F = inner(grad(u), grad(v))*dx + d*dot(grad(u),n)*ds(0) + lmbd*dot(grad(v),n)*ds(0)-\
   (f*v*dx + g*v*ds(1) + h*d*ds(0) + lmbd*h*ds(0))

a = lhs(F)
L = rhs(F)

# Compute solution
A = assemble(a, exterior_facet_domains=boundary_parts)
b = assemble(L, exterior_facet_domains=boundary_parts)
for bc in bcs: bc.apply(A, b)

w = Function(W)
solve(A, w.vector(), b, 'lu')
(u,lmbd) = w.split()

# Plot solution
plot(u, interactive=True)

que é executado, mas fornece um resultado barulhento que não se parece com uma solução para uma equação de Poisson. Parece ter algo a ver com os espaços funcionais combinados, mas não consigo encontrar o erro.
Gostaria muito de receber ajuda ou sugestões na direção certa - muito obrigado já!
Cheers
Markus

Primeiro, um ponto geral: você não pode prescrever condições de contorno arbitrárias para um operador diferencial parcial e esperar que a equação diferencial parcial (que sempre inclui condições de operador e de contorno) seja bem colocada, ou seja, admita uma solução única que depende continuamente da dados - tudo isso é uma condição necessária para realmente tentar calcular algo.

Dependendo do operador, muitas vezes há várias condições válidas que você pode impor (para provar, veja a monografia de três volumes de Lions e Magenes). No entanto, o que você está tentando fazer (especifique o gradiente completo, equivalente às condições de Dirichlet e Neumann no mesmo limite (parte do)) para um PDE elíptico de segunda ordem) não está entre eles - isso é conhecido como problema lateral de Cauchye está incorreto: não há garantia de que um determinado par de dados de fronteira admita uma solução e, mesmo que exista, não há estabilidade com relação a pequenas perturbações nos dados. (De fato, esse é o problema mal colocado original, no sentido de Hadamard, e o exemplo clássico de por que você não pode ignorar as condições de contorno ao discutir a boa postura. Você pode encontrar um exemplo explícito nas suas Palestras sobre o problema de Cauchy, no diferencial parcial linear. equações da década de 1920).

$(r,R)\times(a,b)$$x=r$$R$$x\to \infty$$y=a$$y=b$

1. Se você pode impor condições de contorno (Neumann, Robin, Dirichlet - que você precisaria fixar a constante na integração da derivada tangencial, a propósito), então é suficiente usar os componentes normais do seu gradiente como condição Neumann (se você pode corrigir o modo constante) ou integrar os componentes tangenciais como uma condição Dirichlet. Como as duas condições presumivelmente correspondem à mesma função, você obtém a mesma solução de qualquer maneira.

2. $y=a$$y=b$$-\Delta u=f$$-\Delta u + \varepsilon \Delta^2 u=f$$\varepsilon>0$$H^2$$u$$u_\varepsilon$$u$$\varepsilon\to0$

   $H^2$

Você não pode esperar que a solução para o seu problema alterado seja uma solução para o problema de Poisson, porque você precisa alterar o problema de alguma forma para torná-lo bem posicionado.

$$F(u, \lambda) = \int_\Omega \frac{1}{2}|\nabla u|^2 \;\mathrm{d}x - \int_\Omega f u \;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} g u \;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S$$ $(u,\lambda) \in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$V = \{v\in H^1;v|_{\Gamma_\mathrm{D}}=0\}$$\Gamma_\mathrm{D}$$u_\mathrm{D}$$\Gamma_\mathrm{N}$$F(u)$ $$0 = \mathrm{D}F(u)[v] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad \forall v\in V,$$ ${\Gamma_\mathrm{N}}$${\Gamma_\mathrm{D}}$ $$0 = \mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu] = \int_\Omega \nabla u\cdot\nabla v\;\mathrm{d}x - \int_\Omega fv\;\mathrm{d}x - \int_{\Gamma_\mathrm{N}} gv\;\mathrm{d}S \quad + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \lambda v\;\mathrm{d}S + \int_{\Gamma_\mathrm{N}} \mu (u-u_\mathrm{D})\;\mathrm{d}S \quad \forall (v,\mu)\in V\times L^2(\Gamma_\mathrm{N}),$$ $-\Delta u=f$$\frac{\partial u}{\partial\mathbf{n}} = g-\lambda$$\Gamma_\mathrm{N}$$\Gamma_\mathrm{N}$

$\lambda\ll|g|$

$\Gamma_\mathrm{D}$$v\in V$$\Gamma_\mathrm{D}$

Conclusão: você não pode esperar que o PDE de segunda ordem admita duas condições de contorno independentes.

---

$F(u,\lambda)$$\mathrm{D}F(u,\lambda)[v,\mu]$derivative()

$F(u,\lambda)$$\lambda\in L^2(\Gamma_\mathrm{N})$$\lambda\in L^2(\Omega)$$\lambda\in\mathbb{R}$

Sua abordagem não pode funcionar, definitivamente por causa da implementação e provavelmente por causa de sua formulação.

A imposição de condições de Dirichlet no dolfin, eventualmente define os DOFs correspondentes do seu espaço de teste como zero.

Este é um trecho do manual fenics :

Capítulo 3.3.9 (final): A aplicação de uma condição de contorno de Dirichlet a um sistema linear identificará todos os graus de liberdade que devem ser definidos para o valor especificado e modificará o sistema linear de modo que sua solução respeite a condição de contorno. Isso é realizado zerando e inserindo 1 na diagonal das linhas da matriz correspondentes aos valores de Dirichlet e inserindo o valor de Dirichlet na entrada correspondente do vetor do lado direito [...]

$v$$\Gamma_m$

Em resumo, usando a rotina padrão no dolfin, você não pode aplicar Dirichlet e outras condições no mesmo limite.

No entanto, antes de tentar corrigir isso em sua implementação, encontre os espaços de teste certos para sua formulação matemática (como @Jan Blechta acabou de mencionar).