Oscilações em problemas de difusão de reação singularmente perturbados com elementos finitos

Quando o FEM discretiza e resolve um problema de difusão da reação, por exemplo, com (perturbação singular), a solução do problema discreta irá tipicamente exibem camadas oscilatórios próximo da fronteira. Com , e elementos finitos lineares, a solução parece com

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

solução de problema singularmente perturbado

Vejo que há muita literatura por aí para efeitos indesejados quando causados por convecção (por exemplo, discretizações a favor do vento), mas quando se trata de reação, as pessoas parecem se concentrar em malhas refinadas (Shishkin, Bakhvalov).

Existem discretizações que evitam tais oscilações, ou seja, que preservam a monotonicidade? O que mais pode ser útil nesse contexto?

finite-element discretization numerical-analysis singular-perturbation Nico Schlömer
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O esquema de diferença central não preserva a monotonicidade porque leva a uma matriz M ?

Hui Zhang

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@HuiZhang Você está certo, é claro, no caso de diferenças finitas (e volumes finitos também). Vou adaptar a resposta para declarar mais claramente que estou interessado em elementos finitos.

Nico Schlömer

Os métodos descontínuos de Galerkin tornaram-se bastante populares para esses problemas - você já olhou o livro de Di Pietro e Ern?

Christian Clason

Respostas:

No caso que você mostra, a solução tem uma camada limite. Se você não conseguir resolvê-lo porque sua malha é muito grossa, para todas as questões práticas a solução é descontínua para o esquema numérico.

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

Wolfgang Bangerth
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TL; DR: suas opções são limitadas 1) use força bruta adaptável para soluções precisas e caras 2) use difusão numérica para uma solução menos precisa, mas estável ou (meu favorito) 3) aproveite o fato de que este é um problema de perturbação singular e resolva dois problemas internos / externos de baixo custo e deixe que os assintóticos correspondentes façam sua mágica!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ solução interna com facilidade - neste caso, mesmo analiticamente.

Essa é de fato a técnica que era (e ainda é) muito popular para resolver problemas da camada limite laminar na mecânica de fluidos no passado. De fato, se você observar as equações de Navier-Stokes, com altos números de Reynolds, estará enfrentando efetivamente um problema de perturbação singular, que, como o mencionado aqui, desenvolve uma camada limite (fato interessante: os termos "camada limite" em perturbação na verdade, a análise vem do problema da camada limite de fluido que acabei de descrever).

$u_0 = 1$

GradGuy
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