Modos próprios do Laplaciano em uma região semicircular com método de diferenças finitas

O cálculo dos modos próprios de uma membrana semicircular se reduz ao seguinte problema de valor próprio

$$\nabla^2u=k^2u\;,$$

onde a região de interesse é um semicírculo definido por e φ ∈ [ 0 , π ] .$r\in[0,1]$$\varphi\in[0,\pi]$

É apropriado trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde o Laplaciano é escrito como

$$\nabla^2u=\frac{\partial^2u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2}.$$

As condições de contorno fixam o valor de no limite do semicírculo, onde u = 0 .$u$$u=0$

Primeiro, fazemos uma discretização de com u i j = u ( r i , φ j ) , onde r i = ( i + $u$$u_{ij}=u(r_i,\varphi_j)$eφj=(j+$r_i=(i+\frac{1}{2})h_r$i,j=0...N-1ehr=1/N,HR=π/N. Esta é umamalhacentralizada.$\varphi_j=(j+\frac{1}{2})h_\varphi$ $i,j=0\dots N-1$$h_r=1/N$$h_r=\pi/N$

Em seguida, usamos uma aproximação de diferença finita para o Laplaciano e obtemos

$$\begin{eqnarray} \nabla^2u&\approx& \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h_r^2}+\frac{1}{ih_r}\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2h_r}+ \\ &&+\frac{1}{(ih_r)^2}\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h_{\varphi}^2}\\ &=&k^2u_{ij} \end{eqnarray}$$

ou

$$\begin{eqnarray} &&u_{i+1,j}\left(1+\frac{1}{2i}\right)+u_{i-1,j}\left(1-\frac{1}{2i}\right)\\ &&+\frac{1}{i^2h_{\varphi}^2}\left(u_{i,j+1}+u_{i,j-1}\right)+u_{i,j}\left(-2-\frac{2}{i^2h_{\varphi}^2}-k^2h_r^2\right)=0\;. \end{eqnarray}$$

Como nossa malha é centralizada, temos que fazer a seguinte substituição na equação acima: . Essa substituição também nos ajuda a eliminar a singularidade de coordenadas parai=0.$i\to i+\frac{1}{2}$$i=0$

Condições de contorno em e r = 0 , 1 podem ser todos tratados com o mesmo truque , onde montamos na fronteira$\varphi=0,\pi$$r=0,1$

u i , j + 1 = - u i , j u i - 1 , j = - u i , j u i + 1 , j = - u i , j

$$u_{i,j-1}=-u_{i,j}$$ $$u_{i,j+1}=-u_{i,j}$$ $$u_{i-1,j}=-u_{i,j}$$ $$u_{i+1,j}=-u_{i,j}.$$

$u_{ij}$$\vec v$$\rm A$

$${\rm A}{\vec v}=k^2h_r^2{\vec v}\;.$$

A matriz é uma matriz real assimétrica e os autovalores e autovetores podem ser obtidos com uma rotina dgeevdo LAPACK.

Soluções analíticas podem ser facilmente obtidas pelo método de separação de variáveis

$$u(r,\varphi)=R(r)\Phi(\varphi)\;.$$

Eles são

$$u(r,\varphi)_{nm}=\sin(n\varphi)J_n\left(\frac{\xi_n^{(m)}}{R}r\right)\;,$$ $J_n$$n$$\xi_n^{(m)}$$m$$J_n$

$$\begin{equation} \omega_{nm}=\sqrt{-k^2}=\frac{\xi_n^{(m)}}{R}\;. \end{equation}$$

$r=0$

Aqui está o gráfico da solução analítica para a primeira função própria:

O gráfico a seguir mostra a comparação dos resultados numéricos para três discretizações diferentes, tanto quanto meus recursos computacionais me permitem ir.

$N^2$$L^2(\vec{u}-\vec{u}_{analytical})/N^2$$0.5$$N$

No interesse de ter pelo menos alguma resposta, parece que a análise que você tem acima está correta. As condições de contorno de primeira ordem afetam a precisão de uma discretização de segunda ordem (se estou lembrando o livro de LeVeque sobre aproximações de diferenças finitas corretamente; DavidKetcheson pode me ajudar com isso), então as soluções do problema discreto parecem estar convergindo para a solução do problema analítico na taxa apropriada.

Tendo analisado a maior parte da análise e analisado as belas imagens, eles contam uma história convincente: a solução analítica não tem circularidade, mas sua solução numérica; a região central é curva.

Então, eu me concentraria diretamente no seu esquema de diferenças finitas. Ainda não consigo ver o que há de errado, mas talvez alguma parte da dependência angular das coordenadas não esteja completamente resolvida.

Duvido que seja a condição de contorno; ambas as soluções parecem ter zero em todos os limites. No entanto, poderia ser a natureza da condição, sendo uma derivada e não uma condição de valor.

Eu não entendo as condições de contorno.

• Por que o menos?
• $r=0$$r=1$$\varphi=0$$\varphi=\pi$

Poderia dar mais detalhes, por favor?