Suponha um número desconhecido, mas pequeno e finito, de polos e zeros no plano Z complexo, todos com conjugados complexos, produzindo alguma resposta. Estritamente a partir do valor absoluto de um conjunto de pontos igualmente espaçados ao redor do círculo unitário, digamos que seja superior a 2X o número de polos e zeros, dessa resposta, é possível estimar ou calcular o número de polos e zeros que produziram a magnitude amostrada resposta?
Adicionado: são necessários mais de 2X pontos de amostra para determinar o número de pólos e zeros? (quando o total for menor que X).
Adicionado: se houver mais de uma solução, uma solução mínima (como no número mínimo de pólos e zeros totais) pode ser encontrada ou estimada?
filters
estimation
z-transform
hotpaw2
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Respostas:
Teoricamente, é possível fazer isso, embora muitas vezes não seja prático.
Vamos considerar isso no espaço polinomial. Para um filtro da ordem N, você tem 2 * N + 1 variáveis independentes (N para o denominador e N + 1 para o numerador). Vejamos um ponto arbitrário no plano z e digamos que o valor da função de transferência nesse momento seja H ( ). O relacionamento entre a função de transferência e todos os coeficientes de filtro pode ser escrito como uma equação linear em todos os coeficientes de filtro da seguinte maneira: Assim se você escolher M frequências diferentes z k 2 ∗ N ∑ n = 0 b n ⋅ z - n k - H ( z k ) ⋅ 2 ∗ N ∑ n = 1 a n ⋅ z - n k = H ( z k ) z k ωzk zk
Se M for maior que N, o sistema de equações é linearmente dependente. Você pode encontrar a ordem dos filtros iniciando em N = 1 e aumentando N até que o sistema de equações se torne linearmente dependente. O maior N no qual o sistema é linearmente independente é a ordem real do filtro. Para essa abordagem, nem importa quais frequências você escolhe. Desde que sejam diferentes, qualquer conjunto de frequências funcionará.
No entanto, este é um problema numericamente muito complicado. A representação polinomial para pedidos de filtro maiores é numericamente muito frágil e a menor quantidade de ruído ou incerteza leva a erros numéricos muito grandes. Por exemplo, se você determinar os valores da função de transferência de amostra através da medição, a precisão da medição exigida será proibitiva, a menos que seja um filtro de ordem baixa muito benigno.
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