Eu sou novo no DSP e estava passando por respostas diferentes de um sistema sujeito a uma entrada. Meu entendimento da resposta de entrada zero é: é a resposta / saída do sistema quando o sinal de entrada é definido como zero. Em outras palavras, se um sistema é descrito por uma equação de diferença de coeficiente linear constante, a resposta de entrada zero é a solução homogênea.
No entanto, se a transformação da entrada for uma função racional e a função do sistema LTI for e o sistema é inicialmente relaxado , então . Assumindo zeros distintos (somente real) e pólos (somente real) de e então
que dá
onde e são os polos do sistema e o sinal de entrada respectivamente, é a função de passo unitário. Agora, o primeiro termo é referido como a resposta natural do sistema . É muito confuso compreender a diferença entre zero entrada e resposta natural.
Edit: A referência da pergunta é reservar DSP: Principles, Algorithms and Applications de John Proakis e D Manolakis pdf do livro está aqui Página no 203 e 204. Os dois parágrafos após a fórmula 3.6.4 explicam a diferença entre resposta de entrada zero e resposta natural
Obrigado Peter e Matt por suas respostas e comentários.
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Respostas:
Primeiro, é importante perceber que muitos autores usam os termos Zero-entrada resposta e resposta natural como sinônimos. Essa convenção é usada no artigo correspondente da wikipedia e, por exemplo, também neste livro . Mesmo Proakis e Manolakis não são totalmente claros sobre isso. No livro que você citou, você pode encontrar a seguinte frase na página 97:
Isso sugere que os dois termos podem ser usados de forma intercambiável. Mais abaixo na página, encontramos a seguinte frase:
Novamente, isso sugere fortemente que os autores acreditam que os dois termos são equivalentes.
No entanto, nas páginas que você mencionou, elas parecem fazer a diferença entre as duas. E a diferença é a seguinte. A resposta de entrada zero é a resposta causada por condições iniciais diferentes de zero. Depende apenas das propriedades do sistema e dos valores das condições iniciais. A resposta de entrada zero se torna zero se as condições iniciais forem zero.
A resposta natural é a parte da resposta total cuja forma é determinada apenas pelos polos do sistema e que não depende dos polos do sinal de entrada (transformação do). A resposta natural depende do sinal de entrada em termos de constantes, mas sua forma é inteiramente determinada pelos polos do sistema. Diferentemente da resposta de entrada zero, a resposta natural não desaparece para zero condições iniciais.
A resposta total do sistema pode ser escrita como as duas seguintes somas:
A resposta no estado zero é a resposta para zero condições iniciais e a resposta forçada é a parte da resposta cuja forma é determinada pela forma do sinal de entrada.
Espero que isso fique claro no exemplo a seguir. Vamos investigar o seguinte sistema:
onde é a sequência de etapas da unidade. A resposta total pode ser calculada usando as técnicas de transformação :você [ n ] Z
A resposta de entrada zero é a parte da resposta total determinada pela condição inicial e que não depende de :b
Obviamente, para , ou seja, para a condição inicial zero.yZEu[ n ] = 0 c = y[ - 1 ] = 0
A resposta natural é a parte da resposta total cuja forma é determinada pelo polo do sistema:
Observe que depende das condições iniciais e do sinal de entrada (através da constante ).b
Observe também que é o formato da resposta de estado zero que depende dos polos do sistema e dos polos da transformação do sinal de entrada. Todas as outras respostas mencionadas aqui dependem apenas de um dos dois conjuntos de pólos. As formas da resposta de entrada zero e da resposta natural dependem apenas dos polos do sistema, enquanto a forma da resposta forçada é determinada pelos polos do sinal de entrada. A expressão paray[ n ] citada em sua pergunta de Proakis e Manolakis, é a resposta de estado zero (porque o sistema está inicialmente inativo), e a primeira soma é a resposta forçada e a segunda soma é a resposta natural. Como a resposta de entrada zero é zero nesse caso, a soma da resposta natural e da resposta forçada (ou seja, a resposta total) é igual à resposta do estado zero
Em termos matemáticos, a resposta natural é a solução homogênea da equação da diferença, em que as constantes são determinadas de modo que a soma da solução particular (a resposta forçada) e a solução homogênea satisfaçam a condição inicial especificada. Claramente, a resposta de entrada zerotambém é uma solução para a equação homogênea, mas a diferença com a resposta natural é que a resposta de entrada zero satisfaz as condições iniciais, porque é combinada com a resposta de estado zero, que assume zero condições iniciais. Por outro lado, a resposta natural por si só não satisfaz as condições iniciais. As condições iniciais são satisfeitas apenas combinando a resposta natural com a solução particular da equação da diferença (a última sendo a resposta forçada ).
Como mencionado acima, podemos escrever a solução total como
(resposta de entrada zero mais resposta de estado zero)
e como
(resposta natural mais resposta forçada). Para o exemplo dado, temos
ou seja, é que cuida da condição inicial. É também por isso que se a condição inicial é zero. deve satisfazer a equação homogêneayZEu[ n ] yZEu[ n ] = 0 yZEu[ n ]
Portanto, se , para todos os . A resposta natural também satisfaz a equação homogênea, mas não com a condição inicial . O que é satisfeito éy[ - 1 ] = 0 yZEu[ n ] = 0 n yN[ - 1 ] = y[ - 1 ] yN[ - 1 ] +yF[ - 1 ] = y[ - 1 ] . É por isso que a resposta natural é geralmente diferente de zero, mesmo para zero condições iniciais. E a resposta natural é a solução homogênea que precisamos combinar com a solução específica (resposta forçada) encontrada da maneira padrão. Normalmente, não temos meios diretos para encontrar a solução específica específica que, quando combinada com a solução homogênea especial representada pela resposta de entrada zero, fornecerá a solução completa da equação da diferença. Para isso, precisamos de outra solução homogênea, e essa é a resposta natural.
Novamente, usando o exemplo acima, esperamos esclarecer isso. Para um sinal de força exponencial, a maneira padrão (e mais direta) de obter uma solução específica é escolher uma versão em escala da função de força:
(por uma questão de simplicidade, deixo de fora a unidade , assumindo que consideramos , a menos que falemos sobre a condição inicial). A constante é determinada encaixando na equação da diferença:u[n] n≥0 A (A1)
dando . A forma geral da solução homogênea éA=ba+b
Claro que (ou seja, ) é uma solução específica, mas não é essa a que estamos procurando. Precisamos determinar a constante modo que a soma da solução particular e homogênea satisfaça a condição inicial:yh[n]=0 B=0 B
A partir desta equação, obtemos
o que mostra que a solução homogênea de que precisamos é diferente de zero se . e encontrados dessa maneira são idênticos à resposta forçada e natural, respectivamente, como mostrado em e - implicitamente - em .y[−1]=0 yp[n] yh[n] (4) (2)
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OK, agora que tive a chance de ler um pouco (não apenas no celular!), É isso que acho que está acontecendo.
Temos uma equação linear de diferença de coeficiente constante:
e desejamos encontrar para um dado .y x
Em geral, a solução irá compreender dois componentes: onde é a solução particular e é a solução homogénea.Y
A solução específica é obtida configurando a entrada do sistema em . A solução homogênea é obtida definindo a entrada do sistema como 0 (zero) e selecionando uma condição inicial arbitrária para o estado do sistema .x
O que Proakis e Manolakis assumem é que o estado inicial do sistema é todo zero (logo acima da equação 3.6.2, e como você destacou na sua pergunta).
Portanto, essa é a diferença entre a solução de entrada zero (e estado zero) e a solução de entrada zero (e estado arbitrário ou homogêneo): quais são as condições iniciais selecionadas? A solução homogênea requer condições iniciais arbitrárias, caso contrário, toda solução homogênea seria .yh=0
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Sem usar equações.
Você olha para um circuito que envolve R e C (como um exemplo simples). Existe uma FONTE DE TENSÃO DE ENTRADA aplicada. Existe uma TENSÃO INICIAL aplicada ao capacitor.
Você vai resolver uma corrente ou tensão usando 2 DESENHOS. E acompanhe os dois valores computados para fazer a resposta final.
[1º desenho] Você desenha o circuito (não incluindo a FONTE DE TENSÃO DE ENTRADA), mas usando as CONDIÇÕES INICIAIS, e pergunta: como a tensão no capacitor escapa e se dissipa no circuito? Essa é a resposta NATURAL do circuito. Você está escrevendo a equação V DISCHARGE e encontrando a constante de tempo DISCHARGE. Essa é a RESPOSTA NATURAL do circuito (a ENTRADA ZERO: significando NÃO FONTE DE TENSÃO DE ENTRADA APLICADA, mas SIM condições iniciais). Salve esse valor de corrente ou tensão da "parte 1".
[2º desenho] Agora você deseja calcular a RESPOSTA FORÇADA. NÃO INCLUEM AS CONDIÇÕES INICIAIS. Basta desenhar a FONTE DE TENSÃO DE ENTRADA e os componentes do circuito e "ENCONTRAR A RESPOSTA". Salve esse valor de corrente ou tensão da "parte 2"; este resultado (ignorando CONDIÇÕES INICIAIS) é a RESPOSTA FORÇADA.
A RESPOSTA FINAL é: qual é a soma da corrente que você calculou a partir da RESPOSTA NATURAL e a corrente que você calculou a partir da RESPOSTA FORÇADA. - ou - qual é a soma da tensão que você calculou da RESPOSTA NATURAL e a tensão que você calculou da RESPOSTA FORÇADA. Obrigado. Cesar, 25 de fevereiro de 2020, na área General Bravo.
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