Aproximando

Eu estava lendo casualmente um artigo (em economia) que tinha a seguinte aproximação para :$\log(E(X))$

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5 \mathrm{var}(\log(X))$ ,

que o autor diz ser exato se X é log-normal (o que eu sei).

O que não sei é como derivar essa aproximação. Tentei calcular uma aproximação de Taylor de segunda ordem e tudo o que surgiu foi esta expressão:

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5\frac{\mathrm{var}(X)}{E(X)^2}$

Pelo método Delta , a variação de uma função de um VR é aproximadamente igual à variação do VR vezes a derivada ao quadrado avaliada na média. Conseqüentemente

$$\mathrm{var}(\log(X)) \approx \frac{1}{ \left[E(X)\right] ^2 } \mathrm{var}(X)$$

e aí está. Sua derivação estava certa, é claro.