Expectativa de uma função de uma variável aleatória do CDF

É possível calcular a expectativa de uma função de uma variável aleatória apenas com o CDF do rv? Digamos que eu tenho uma função que possui a propriedade e a única informação que tenho sobre a variável aleatória é o CDF. $g(x)$ $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx \leq \infty$

Por exemplo, eu tenho um cenário em que existem três temporizadores que podem ser modelados como variáveis aleatórias exponenciais com parâmetros de taxa respectivamente. Para cada momento, recebo uma recompensa de acordo com alguma função de recompensa . Ou seja, minha recompensa por esperar até que o tempo possa ser escrito como . No entanto, apresenta retornos decrescentes, de modo que a recompensa marginal recebida pela espera de um segundo em é maior que um segundo em, digamos, . Esse 'jogo' termina quando uma das duas coisas acontece. Ambos os temporizadores ou $X_1,X_2,X_3$ $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ $g(x)$ $t$ $\int_0^tg(x)dx$ $g(x)$ $t=0$ $t=27$ $X_1$ $X_2$ deve tocar ou os temporizadores ou devem tocar. Estou tentando encontrar a recompensa esperada de jogar este jogo. $X_1$ $X_3$

Atualmente, posso calcular o CDF da variável aleatória modelando o tempo até o jogo terminar, mas não sei como usar essas informações para quando o que realmente preciso é uma recompensa associada a esse tempo.

Até agora, tenho as variáveis aleatórias adicionais: Também deixe denotar o CDF de O CDF de pode ser escrito como:

W_{12} = max (X_{1}, X_{2}) W_{13} = max (X_{1}, X_{3}) Z = min (W_{12}, W_{13})

$W_{12}=\max(X_1,X_2) \quad W_{13}=\max(X_1,X_3) \quad Z=\min(W_{12},W_{13})$

F_{i} (x), i \in {1, 2, 3}

$F_i(x), i\in \{1,2,3\}$

X_{i}

$X_i$

Z

$Z$

F_{Z} (t) = F_{1} (t) F_{2} (t) + F_{1} (t) F_{3} (t) - F_{1} (t) F_{2} (t) F_{3} (t)

$F_Z(t) = F_1(t)F_2(t) + F_1(t)F_3(t) - F_1(t)F_2(t)F_3(t)$

Eu sei que quando uma variável aleatória assume valores não negativos, você pode usar um atalho para calcular a expectativa usando o CDF. Ou seja, . Existe algo semelhante que eu poderia usar para uma função de uma variável aleatória ou é necessário calcular o pdf de primeiro para calcular $E[X] = \int_0^\infty F(X\geq x)dx$ $Z$ $\int_0^\infty g(t)f_z(t)dx$

random-variable expected-value CôcoBandit
fonte

O que você quer dizer com "apenas" informação? O CDF diz tudo sobre o RV que pode estar relacionado às expectativas! Parece que seu problema subjacente pode ter a ver com a forma computacional em que o CDF é fornecido a você. Por favor, explique suas circunstâncias. BTW, pode ser indefinido ou infinito, mesmo quando a integral deé finito.

E [g (X)]

$E[g(X)]$

| g |

$|g|$

whuber

Eu acho que você está procurando a integração por partes en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

seanv507

Respostas:

Quando é o CDF de uma variável aleatória e é uma função (mensurável), a expectativa de pode ser encontrada como uma integral de Riemann-Stieltjes $F$ $X$ $g$ $g(X)$

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) d F (x) .

$\mathbb{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) dF(x).$

Isso expressa a lei do estatístico inconsciente.

Se também for diferenciável, escreva e integre por partes para obter $g$ $dF = -d(1-F)$

E (g (X)) = - g (x) (1 - F (x)) |_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\mathbb{E}(g(X)) = -g(x)(1-F(x)){\big|}_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty (1-F(x)) g^\prime(x)\, \text{d}x$

desde que ambos os addends converjam. Isso significa várias coisas, que podem ser simplesmente expressas quebrando a integral em algum valor finito definido, como : $0$

${\lim}_{x\to -\infty} g(x)(1-F(x))$ e existem e são finitos. Nesse caso, o primeiro adendo é a diferença desses dois. ${\lim}_{x\to \infty} g(x)(1-F(x))$
$\lim_{t\to -\infty} \int_t^0 (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$ e existe e é finito. Nesse caso, o segundo adendo é a soma desses dois. $\lim_{t\to \infty} \int_0^t (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$

Um bom lugar para quebrar a integral é em qualquer zero de , porque - desde que eventualmente diminua rápido o suficiente para grandes--que faz com que o primeiro adendo desapareça, deixando apenas a integral de contra a função de sobrevivência . $g$ $g$ $|x|$ $g^\prime$ $1-F$

Exemplo

A expectativa de uma variável não negativa é obtida aplicando a fórmula à função de identidade para a qual e utilizando o fato de que a integração pode começar em zero: $X$ $g(x)=x$ $g^\prime(x)=1$

E (X) = - x (1 - F (x)) |_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x .

$\mathbb{E}(X) = -x(1-F(x))\big|_{0}^\infty + \int_{0}^\infty (1-F(x))\,\text{d}x.$

Desde que (ou seja, a função de sobrevivência não possui uma cauda excessivamente pesada), o limite superior do primeiro termo desaparece. Seu limite inferior obviamente desaparece. Ficamos apenas com a integral, dando a expressão na pergunta. $\lim_{x\to\infty} x (1-F(x)) = 0$

whuber
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Obrigado, isso parece exatamente como eu queria. Só preciso ler minha integração Riemann-Stieltjes agora.

CoconutBandit

Em sua aplicação, como é continuamente diferenciável em qualquer lugar, exceto em , você pode dividir a integral em em duas integrais de Riemann e ignorar completamente as complicações.

F

$F$

0

$0$

0

$0$

whuber

O que você quer dizer com 'complicações'? Além disso, em seu segundo ponto, ser ? Caso contrário, por que mudou para ?

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g(x)dx$

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g'(x)dx$

g^{'} (x)

$g'(x)$

g (x)

$g(x)$

CoconutBandit

(1) Obrigado, esses primos precisavam estar lá. (2) "Complicações" refere-se à necessidade da integral Riemann-Stieltjes em vez da integral Riemann.

whuber

Isso usa três regras básicas de diferenciação: a regra da soma, a regra do produto e o fato de que as constantes têm zero derivado.

whuber