Deixe é um número de eventos no processo de Poisson de taxa unitária ( ) dentro de intervalo de comprimento . Sabe-se que pelo menos um evento foi observado no intervalo, quero encontrar probabilidade de que haja mais eventos no intervalo.
Minha intuição é que .
A lógica por trás disso é que
se o evento observado estava no tempo desde o início do intervalo, é suficiente calcular a probabilidade de que nenhum evento ocorreu nos intervalos abertos ou : ,
Contudo
que nem eu nem WolframAlpha podem ser iguais a .
Como os dois resultados não podem ser verdadeiros - onde está meu erro?
Eu posso ver que e são fortemente dependentes. Isso importa? Minha intuição é que está apenas estreitando o espaço de amostragem ...
[EDIT # 1]
Eu encontrei mais uma maneira de apoiar ... ambos os resultados.
Se é a hora do primeiro evento no intervalo (desde o início do intervalo), sua densidade de distribuição será dada comoEntão
No entanto, se eu repetir os passos semelhantes para uniformemente distribuída ( ) evento aleatório no intervalo e ter em conta também eventos antes de eu ainda recebo
[EDIT # 2]
Acompanhamento devido ao comentário de @combo (sobre perda de condicionamento na primeira abordagem).
Eu não entendo, por que o condicionamento está perdido.
Imagine uma situação em que criamos um intervalo de comprimento com pelo menos um evento de processo unitário de Poisson. Deixe que é um acontecimento aleatório de Poisson processo unitário e é uma variável aleatória uniformemente distribuída em . Então é um intervalo de comprimento contendo pelo menos um evento, em (uniformemente distribuído) desde o início do intervalo. Da independência dos eventos, a probabilidade de que não haja mais eventos no intervalo é , não é? E é dado que houve pelo menos um evento no intervalo.
Por que a situação é diferente quando tenho um intervalo de duração que contém pelo menos um evento? O tempo de um evento escolhido aleatoriamente ( ; desde o início do intervalo) é distribuído uniformemente, portanto não vejo diferença.
Respostas:
Eu finalmente descobri!
De acordo com o conselho do @ combo, vou usar o termo "ocorrência".
Surpreendentemente, a primeira parte da lógica da minha intuição estava quase correta.
Se a ocorrência observada ocorreu no tempo desde o início do intervalo, é suficiente calcular a probabilidade de que nenhuma ocorrência ocorreu em intervalos abertos ou : .t (0,t) (t,T) Pr(XT=1∣t)=Pr(Xt=0)Pr(XT−t=0)=e−tet−T=e−T=Pr(XT=0)
A diferença é a substituição de por , que pode ser vista como , onde é um comprimento de infinito; pequeno intervalo . Como , podemos ver como uma densidade no ponto do único ocorrência dentro do intervalo .Pr(XT=1∣XT>0) Pr(XT=1∣t) Pr(XT=1∣Xdt=1) dt [t−dt2,t+dt2] Pr(XT=1,t)=e−Tdt pdf(t)=Pr(XT=1∣t) t (0,T)
Como o valor de é desconhecido, integramos . Até aí tudo bem - sabemos a probabilidade incondicional de ter exatamente uma ocorrência no intervalo. No entanto, condicionando em a fração do espaço amostral foi descartada - portanto, é necessário normalizar todas as probabilidades / densidades restantes por um fator de .t ∫T0pdf(t)dt=Te−T=Pr(XT=1) XT>0 e−T 11−e−T
Assim, a intuição foi a falácia de confundir probabilidade com densidade.
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Uma observação rápida sobre a terminologia para evitar confusões: vou me referir a algo que acontece em um determinado momento como uma "ocorrência" em vez de um "evento", a fim de evitar confusão com a definição mais rigorosa de um evento como um elemento da amostra espaço.
Vamos começar pela definição do processo de contagem de Poisson. Deixe- é o número de ocorrências que acontecem por tempo . Possui as seguintes propriedades:N(t) T
A propriedade de incrementos independentes é o que está atrapalhando você - especificamente as implicações da estrita desigualdade.
Estamos fazendo a pergunta, dado que uma ocorrência acontece no tempo , qual é a probabilidade de ? Seguindo sua abordagem, vamos dividir o processo em três segmentos. Para alguns , temos: e agora estamos analisando a probabilidadet∈[0,T] N(T)=1 ϵ<min{t,T−t}
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De suas duas maneiras de abordar o problema, a segunda parece estar correta. É muito mais rigoroso e faz total sentido para mim. No entanto, tive um pouco mais de dificuldade em entender a primeira abordagem, o que deu motivos para acreditar que essa é a fonte do seu erro.
Primeiramente, por curiosidade, por que você está calculando ? Dada a mesma abordagem usada abaixo, essa probabilidade (na medida em que for relevante) deve ser igual a que por definição não é igual a . Espero que isto ajude!P(XT=1|XT>0) Te−T1−e−T e−T
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