Solicitar verificação de um resultado simples da matriz

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Suponha que é um vetor de variáveis ​​aleatórias. Então, por favor verificar que .k × 1Xk×1EX(EXX)1EX1

Quando este é um resultado bem conhecido que . Mas como devo reivindicar isso em geral?( E X ) 2E X 2K=1(EX)2EX2

Jie Wei
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Respostas:

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Vamos e . Então precisamos mostrar Σ = E ( X X T ) - μ μ T μ T ( Σ + μ μ T ) - 1 μ 1.μ=EXΣ=E(XXT)μμT

μT(Σ+μμT)1μ1.

Deixe- de modo a que . Usando o lema determinante da matriz e a existência de , podemos ver que existe exatamente quando . Se terminamos, então WLOG assumimos .C=E(XXT)Σ=CμμT Σ - 1 μ T C - 1 μ C1Σ1μTC1μ1μTC1μ=1μTC1μ1

Então, pela fórmula de Sherman-Morrison , temos pois \ Sigma ^ {- 1} é PSD, então c \ geq 0 .Σ-1c0

μT(Σ+μμT)1μ=μTΣ1μμT(Σ1μμTΣ11+μTΣ1μ)μ=cc21+c=c1+c<1
Σ1c0
jld
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