Does

Does implica independência de X e Y ?$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$$X$$Y$

Eu sou apenas familiarizado com o seguinte definição de independência entre e Y .$X$$Y$

$$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$$

Vamos começar com a intuição. A inclinação do comum de regressão de mínimos quadrados de contra h ( X ) , para qualquer função h , é proporcional à covariância de h ( X ) e Y . A suposição é que todas as regressões são todas zero (não apenas lineares). Se você imagina ( X , Y ) representado por uma nuvem de pontos (realmente, uma nuvem de densidade de probabilidade), não importa como você a corta verticalmente e reordena as fatias (que realiza o mapeamento $Y$$h(X)$$h$$h(X)$$Y$$(X,Y)$$h$), a regressão permanece zero. Isso implica que as expectativas condicionais de (que são a função de regressão) são todas constantes. Poderíamos mexer com as distribuições condicionais , mantendo as expectativas constantes, arruinando assim qualquer chance de independência. Portanto, devemos esperar que a conclusão nem sempre seja válida.$Y$

Existem contra-exemplos simples. Considere um espaço de amostra de nove elementos abstratos e uma medida discreta com probabilidade determinada por

$$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$$

$$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$$

Defina

$$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$$

Poderíamos exibir essas probabilidades como uma matriz

$$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$$

(com todas as entradas multiplicado por ) posicionadas em ambos os sentidos por os valores - 1 , 0 , 1 .$1/10$$-1,0,1$

As probabilidades marginais são e F Y ( - 1 ) = f Y ( 1 ) = 4 / 10

$$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$$ tal como calculado pela soma das colunas e as somas de fileira da matriz, respectivamente. Desde f X ( 0 ) f Y ( 0 ) = ( 4 / 10 ) ( 2 / 10 ) ≠ 0 = P ( ω 0 , 0 ) = F X Y ( 0 , 0 ) , estas variáveis não são independentes. $$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$$ $$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$$

Isso foi construído para tornar a distribuição condicional de quando X = 0 diferente das outras distribuições condicionais para X = ± 1 . Você pode ver isso comparando a coluna do meio da matriz com as outras colunas. A simetria nas coordenadas Y e em todas as probabilidades condicionais mostra imediatamente que todas as expectativas condicionais são zero, de onde todas as covariâncias são zero, independentemente de como os valores associados de X possam ser reatribuídos às colunas.$Y$$X=0$$X=\pm 1$$Y$$X$

Para aqueles que podem não se convencer, o contra-exemplo pode ser demonstrado através da computação direta - existem apenas funções que precisam ser consideradas e para cada uma delas a covariância é zero.$27$