Mostrando e são independentes: buscando uma solução para este problema de livro didático

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Em Introdução aos modelos lineares generalizados de Dobson e Barnett, o exercício 1.4b & c é o seguinte:

Seja variáveis ​​aleatórias independentes, cada uma com a distribuição . Let e . ...Y1,...,YnN(μ,σ2)Y¯=1ni=1nYiS2=1n1i=1n(YiY¯)2

b. Mostre queS2=1n1[i=1n(Yiμ)2n(Y¯μ)2]

c. A partir de (b) segue-se que . Como isso permite deduzir que \ overline {Y} e S ^ 2 são independentes?(Yiμ)2/σ2=(n1)S2/σ2+[(Y¯μ)2n/σ2] Y¯ S2

Meu problema é que não vejo como a equação em c me permite responder à pergunta em negrito.

Estou ciente de como provar que os 2 são independentes em geral ( já foi perguntado antes ).

Além disso, quando olho para as soluções, eles dizem:

(c) e (d) seguem os resultados na p.10

Na página 10, a coisa mais próxima de usar é a propriedade reprodutiva da distribuição qui-quadrado, que não é uma declaração if e only if, portanto, acho que não pode ser usada aqui.

Então, minha pergunta é: como a equação em c) ajuda a provar a independência?

jld
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Respostas:

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Não tenho certeza do que os autores têm em mente, mas a solução mais próxima que posso pensar em usar (c) é aplicar o teorema de Cochran . Você já cobriu isso, ou talvez um caso especial?

Aqui está a prova usando isso:

Seja para que e . Observe que Agora (c) nos diz que podemos escrever como e ambos são idempotentes, portanto o teorema de Cochran permite concluir queZi=YiμσZiN(0,1)Z¯N(μ,σ2/n)

(YiY¯σ)2=(YiμσY¯μσ)2=(ZiZ¯)2.
iZi2=i(ZiZ¯)2+nZ¯2
ZTZ=ZT(I1n11T)Z+ZT(1n11T)Z.
I1n11T+1n11T=Ii(Yiμ)2n(Y¯μ)2 e o resto segue.

Seria isso o que eles estavam procurando?

jld
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Faz sentido para mim. Lendo adiante, os autores fazem uma pergunta semelhante no exercício 2.3 ('... usando métodos semelhantes ao exercício 1.3 ...') e ignoram a solução no pdf. Mas, sua abordagem também funciona na versão 2.3.
@ user1108 feliz que isso ajudou. De qualquer maneira, é uma boa aposta que o teorema de Cochran apareça em algum momento de um livro de modelos lineares (e, de fato, este já é um modelo linear em que é a matriz do chapéu para a interceptação só regressão dando )1n11TZ^=Z¯1
jld