Qual é o significado de sobrescrito em

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No contexto da inferência baseada em verossimilhança, vi algumas notações sobre os parâmetros de interesse que achei um pouco confusas.

Por exemplo, notação como e E θ [ S ( θ ) ] .pθ(x)Eθ[S(θ)]

Qual é o significado do parâmetro ( ) na notação subscrita acima? Em outras palavras, como deve ser lido?θ

Minha primeira suposição foi que simplesmente significava "com o parâmetro "; por exemplo, para p θ ( x ) , seria lido:θpθ(x)

"A densidade de probabilidade de com o parâmetro θ ."xθ

No entanto, isso provavelmente não está correto porque e, em geral, L ( θ ) não é uma distribuição (isto é, não se integra à unidade); portanto, não pode ser uma densidade, pode?pθ(x)=L(θ)L(θ)

Além disso, no caso de , não tenho certeza do que muda em relação a E [ ( S ( θ ) ] (ou seja, com o índice θ omitido).Eθ[S(θ)]E[(S(θ)]θ

No exemplo acima, e L ( θ ) significam a função de pontuação e a função de probabilidade, respectivamente.S(θ)L(θ)

Hugo
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é uma probabilidade (ou densidade) para cada θ , que não implica que a probabilidade seja uma função de densidade em função de θ . pθθθ
Stéphane Laurent
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Obrigado pela sua resposta!
Então ?pθ(x) is equivalent to p(x;θ)
A partir deste, que se pode assumir que: pθ(x)=L(θ) but pθ(x)dx=1L(θ)dθ
E também que se refere à expectativa de x para cada θ tal que: E θ ( f ( x ) ) = f ( x ) p θ ( x ) d xEθ(f(x))xθEθ(f(x))=f(x)pθ(x)dx
233 Hugo Hugo
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Geralmente a notação representa uma expectativa em relação à variável aleatória X ; se você estiver em uma situação em que faz sentido considerar θ como uma variável aleatória (como um contexto bayesiano), essa seria a intenção. Se você não estiver em uma situação em que θ possa ser considerada uma variável aleatória, o comentário de @ Hugo significaria o seguinte. EX()Xθθ
Glen_b -instala Monica
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@ Hugo Sim, você entende. Rigorosamente que sempre deve denotar a expectativa em que P é a probabilidade subjacente, mas isso é inútil quando existe apenas um P . Aqui E θ é um atalho para E p θ . A notação E X mencionada por Geln_b é apropriada para outros contextos, mas geralmente não gosto dessa notação. EPPPEθEpθEX
Stéphane Laurent

Respostas:

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Isso é respondido principalmente em comentários que resumirei aqui.

pθ(x) significa o mesmo quep(x;θ) , é uma abreviação. Esta é uma densidade em relação ax , não em relação aθ . Assim, enquanto por necessidadep(x;θ)dx=1 não segue quep(x;θ)dθ=1 , pode ser qualquer coisa, incluindo .

Portanto, Eθ[S(θ)] é a expectativa de S(θ) em relação à distribuição pθ(x) . O subscrito θ existe para maior clareza, não porque é necessário, então E[(S(θ)] tem o mesmo significado ) .A distribuição com relação à qual calculamos a expectativa deve ser clara a partir do contexto ou indicada de alguma forma (como por um subscrito).

kjetil b halvorsen
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