Estimador imparcial para a menor das duas variáveis aleatórias

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Suponha que e $X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \sigma^2_x)$ $Y \sim \mathcal{N}(\mu_y, \sigma^2_y)$

Estou interessado em . Existe um estimador imparcial para ? $z = \min(\mu_x, \mu_y)$ $z$

O estimador de simples onde e são médias das amostras de e , por exemplo, é polarizado (embora consistente). Ele tende a diminuir $\min(\bar{x}, \bar{y})$ $\bar{x}$ $\bar{y}$ $X$ $Y$ . $z$

Não consigo pensar em um estimador imparcial para . Existe alguém? $z$

Obrigado por qualquer ajuda.

random-variable unbiased-estimator minimum pazam
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Este é apenas um par de comentários, não uma resposta (não tem ponto de representação suficiente).

(1) Existe uma fórmula explícita para o viés do estimador simples aqui: $min(\bar{x},\bar{y})$

Clark, CE 1961, mar-abr. O maior de um conjunto finito de variáveis aleatórias. Pesquisa Operacional 9 (2): 145-162.

Não tenho certeza de como isso ajuda

(2) Isso é apenas intuição, mas acho que esse estimador não existe. Se existe um estimador, ele também deve ser imparcial quando . Assim, qualquer 'rebaixamento' que torne o estimador menor do que a média ponderada das duas amostras significa que o estimador é tendencioso nesse caso. $\mu_x=\mu_y=\mu$

Ou Zuk
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concebivelmente, qualquer correção pode acabar com média zero neste caso.

cardeal

Apenas para esclarecer, no entanto, não estou afirmando que acredito que exista um estimador imparcial. Na verdade, eu concordo que provavelmente não existe .

cardeal

1

Sim, concordo - isso é apenas intuição. O artigo a seguir fornece condições para a existência de um estimador imparcial para uma função de uma média gaussiana univariada - talvez possa ser estendida para multivariada: stat.ncsu.edu/library/mimeo.archive/ISMS_1988_1929.pdf

Ou Zuk

u_{x}

$u_x$

u_{y}

$u_y$

21711 pazam

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$\mu_x=\mu_y$

$T(X,Y)$ $E_{\mu_x,\mu_y}[T(X,Y)]=\min\{\mu_x,\mu_y\}$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\mu_x=\mu_y$ , o que leva a uma contradição.

Hirano e Porter têm uma prova geral em um próximo artigo da Econometrica (veja a Proposição 1). Aqui está a versão do documento de trabalho:

http://www.u.arizona.edu/~hirano/papers/hp4_2011_11_03.pdf

user8817
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Muito agradável! Obrigado por acompanhar esta pergunta.

whuber

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Existe um estimador para o mínimo (ou o máximo) de um conjunto de números, dada uma amostra. Veja Laurens de Haan, "Estimativa do mínimo de uma função usando estatísticas de ordem", JASM, 76 (374), junho de 1981, 467-469.

Jan Galkowski
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Infelizmente, acho que o artigo que você cita não resolve esse problema. O artigo trata de quando você tem um conjunto de variáveis não estocásticas A e encontra o menor elemento em A através da amostragem. No contexto desse problema, cada elemento em A seria uma variável aleatória e aí está o kicker. Você tem que encontrar um estimador da média da variável aleatória menor em A.

pazam

0

Eu teria certeza de que não existe um estimador imparcial. Mas estimadores imparciais não existem para a maioria das quantidades, e a imparcialidade não é uma propriedade particularmente desejável em primeiro lugar. Por que você quer um aqui?

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Y

$Y$

Y

$Y$

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