Mercados completos em tempo contínuo

Nas economias de tempo discretas padrão com um número finito de estados, , uma economia de mercado completa é simplesmente uma economia com n ativos independentes (Think Ljunqvist e Sargent, capítulo 8). Isso ocorre porque n ativos independentes são suficientes para abranger o conjunto de estados amanhã.$n$$n$$n$

Tive uma discussão com um professor na semana passada, na qual ele afirmou que uma das conveniências do tempo contínuo quando se pensa em preços de ativos é que, dentro de uma economia de tempo contínuo, é possível obter mercados completos simplesmente com uma obrigação livre de risco e um ativo arriscado ( independente) para cada movimento browniano na economia.

Ele explicou isso enquanto conversávamos, então eu acho que entendi mais, mas estava pensando se alguém se importaria de anotar os detalhes?

Provavelmente vou passar um dia ou dois nesta semana (depende de algumas das propriedades do cálculo diferencial); portanto, se ninguém mais responder à pergunta, espero que eu possa fornecer uma resposta satisfatória.

Sou a última pessoa que deveria responder a perguntas de tempo contínuo como essas, mas se não houver mais ninguém, acho que vou tentar. (Qualquer correção de minhas finanças de tempo contínuo, pouco lembradas, é muito bem-vinda.)

Minha impressão sempre foi de que isso é melhor interpretado como uma conseqüência do teorema da representação de martingale . Primeiro, porém, estabelecerei algumas anotações. Deixe o espaço de probabilidade ser gerado pelos processos independentes de Wiener ( Z 1 t , … , Z n t ) . Seja n + 1 ativo, em que o valor do i- ésimo ativo em t é dado por S i t . Suponha que o ativo i = 0 seja um título livre de risco d S $n$$(Z_t^1,\ldots,Z_t^n)$$n+1$$i$$t$$S_t^i$$i=0$, sendo que os meiosde i=1,...,nsão, cada um de risco e são accionados pelo correspondenteZ i t : dS i t =μ i t dt+σ i t dZ i t Suponha que exista um processo SDF estritamente positivomtnormalizado param0=1, de modo quem$dS_t^0=r_tS_t^0dt$$i=1,\ldots,n$$Z_t^i$

$$dS_t^i=\mu_t^idt+\sigma_t^idZ_t^i$$ $m_t$$m_0=1$ é um martingale para cada i (basicamente a definição de SDF) e onde Z t (eu uso ⋅ como produto escalar, o que será conveniente.)$m_tS_t^i$$i$ $$dm_t=\nu_t dt+\psi_t\cdot dZ_t$$ $\cdot$

Finalmente, seja o vetor dimensional θ t nosso portfólio no tempo t , de modo que o patrimônio líquido A t seja dado por A t = θ t ⋅ S t . Suponha que A 0 seja fixo e que ainda tenhamos d A t = θ t ⋅ d S t Agora vou declarar o objetivo, que captura a essência de mercados completos. Suponha que o mundo termine no tempo T e que queremos um patrimônio líquido A $n+1$$\theta_t$$t$$A_t$$A_t=\theta_t\cdot S_t$$A_0$

$$dA_t=\theta_t\cdot dS_t$$ $T$$A_T$para igualar uma certa estocástica , que pode depender do histórico completo até o tempo T . Suponha que A 0 = E 0 [ m T Y ] , de modo que em um mundo com mercados completos poderíamos (a t = 0 ) usar nossa riqueza inicial Um 0 para comprar o tempo t = T payout Y . Na ausência desses mercados completos diretos, a questão é se existe, no entanto, alguma estratégia para o portfólio θ t que nos permita obter $Y$$T$$A_0=E_0[m_TY]$$t=0$$A_0$$t=T$$Y$ $\theta_t$ em todos os estados do mundo. E a resposta, nesse cenário, é sim.$A_T=Y$

$d(m_tA_t)=\theta_t\cdot d(m_tS_t)$$m_tS_t$$m_tA_t$$A_T=Y\Longleftrightarrow m_TA_T=m_TY$

$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$ $t\in[0,T]$$t=0$

$E_t[m_TY]$

$$E_t[m_TY]=E_0[m_TY]+\int_0^t \phi_s\cdot dZ_s$$ $\phi_s$$d(m_tA_t)=\phi_t\cdot dZ_t$ $$d(m_tA_t)=\sum_i (m_t\theta_t^i \sigma_t^i +A_t\psi_t^i)dZ_t^i$$ $m_t\theta_t^i\sigma_t^i +A_t\psi_t^i=\phi_t^i$$i=1,\ldots,n$$\theta_t^i$ $$\theta_t^i=\frac{\phi_t^i-A_t\psi_t^i}{m_t\sigma_t^i}$$ $\theta_t^0$$A_t=\theta_t\cdot S_t$

$A_t$$m_tA_t=E_t[m_TY]$$m_t$$dZ_t^i$$\theta_t$$dA_t$$dZ_t^i$$n$ativos correlatos, desde que seus incrementos sejam localmente linearmente independentes. (O caso aqui de$n$

Eu pretendo postar isso por um longo tempo. Me deparei com isso e pensei que poderia adicionar algumas dicas. Este exemplo é de "Teoria de precificação de ativos financeiros", de Munk.

Considere a figura a seguir. Quantos ativos precisamos para ter um mercado completo?

$N$$N$ "ativos suficientemente diferentes" (no cenário estático usual, isso significa linearmente independente). No entanto, na configuração dinâmica, esse não é o caso. Munk explica isso com base em duas observações diferentes:

(i) a incerteza não é revelada completamente de uma só vez, mas pouco a pouco, e (ii) podemos negociar dinamicamente os ativos. No exemplo, existem três transições possíveis da economia do tempo 0 para o tempo 1. De nossa análise de um período, sabemos que três ativos suficientemente diferentes são suficientes para 'superar' essa incerteza. Do tempo 1 ao tempo 2, existem duas, três ou uma possível transição da economia, dependendo do estado em que a economia se encontra no momento 1. No máximo, precisamos de três ativos suficientemente diferentes para abranger a incerteza nesse período. No total, podemos gerar qualquer processo de dividendos se apenas tivermos acesso a três ativos suficientemente diferentes nos dois períodos.

No caso de uma versão em árvore multinomial geral de um mercado em tempo discreto de estado finito mais geral, podemos para cada nó da árvore definir o número de abrangência como o número de ramificações da subárvore saindo desse nó. O mercado estará completo se, para qualquer nó da árvore, o número de ativos negociados linearmente independentes no período seguinte for igual ao número de abrangência.

Agora, no caso de um modelo de tempo contínuo em que a incerteza é gerada por um movimento browniano padrão d-dimensional, o argumento é complicado, mas Munk fornece algumas idéias baseadas na discussão anterior.

O resultado é bastante intuitivo, dadas as seguintes observações:

1. Para mudanças contínuas ao longo de um instante, apenas os meios e as variações são importantes.
2. $dz_i$$d+1$$dz_t$$dz_t$$dt$$\epsilon$$\sqrt{dt}$$1/2$$-\sqrt{dt}$$1/2$
3. Com a negociação contínua, podemos ajustar nossa exposição a choques exógenos a cada instante.

$d+1$$d+1$