Por que a função de produção Cobb-Douglas é tão popular?

Como analista quantitativo relativamente novato / analista de custos, me pediram para estimar o nível de produtividade de uma determinada organização mais de uma vez e, em seguida, prever os próximos períodos. O local em que trabalho é relativamente pequeno, sem fins lucrativos (cerca de 30 pessoas), dedicado à distribuição de doações de bancos de alimentos e solicitação de voluntários, por isso não tenho certeza se o tamanho da empresa tem algo a ver com isso.

Na maioria das vezes me pedem unidades específicas e não alterações percentuais ou elasticidades, então sou forçado a apresentar uma das duas funções de produção.

1. $$f(x_1,...,x_n)=\Sigma_{i=1}^n\beta_i x_i$$
2. $$f(x_1,...,x_n)=\gamma \min(x_1,...,x_n)$$

No entanto, quando leio literatura econômica, vejo o cobb douglas (ou alguma variação dela, como a pedra-gerry) sendo usado o tempo todo.

Eu sei que ele tem a propriedade de mostrar matematicamente retornos decrescentes de escala para um único fator de produção, no entanto, estou tendo dificuldades para vê-lo na minha linha de trabalho. É uma função de produção exclusiva para a fabricação de bens reais?

A razão pela qual as funções de produção da Cobb Douglas são tão populares decorre do fato de que as seguintes suposições são satisfeitas, permanecendo estatisticamente rigorosas ¹ :

Lembre-se do formulário da função de produção Cobb-Douglas:

onde (ou seja, a parcela da produção que vai para o capital)$0<\alpha <1$

$1)$ Produtos marginais positivos:

$2)$ produtos marginais decrescentes (como você já mencionou)

$3)$ Retornos constantes à escala (é assim que a maioria dos processos de produção funciona)

para qualquer (por exemplo, "Entrada dupla Saída dupla do ")$\lambda \ge 0$$\Rightarrow$

Espero que isto ajude!!

_{¹ Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function}

Como você sugere na sua pergunta, a verdadeira razão subjacente (na minha opinião) por trás da popularidade da função de produção de CD é a conveniência matemática. O fato de que a soma é uma representação intuitiva e agradável de "retornos à escala" é muito conveniente.$\alpha + \beta$

Penso em seu uso como semelhante ao uso de utilidades exponenciais ou de energia nas finanças matemáticas. Irrealista? Talvez, mas oh, mais amigável de se trabalhar.

Ok, acho que fiz muitas suposições implícitas porque fiquei confuso com suas funções na última resposta, o que fez a minha resposta muito confusa. Então, tento ser um pouco mais explícito dessa vez. Vou considerar apenas sua primeira função.

Agora, se esta é uma função de produção, então são entradas e você só tem uma saída. Agora sua função de produção possui as seguintes propriedades: e . Isso implica que suas entradas são completamente independentes uma da outra. Você pode alcançar a mesma saída com apenas ou com apenas . Isso não faz sentido se suas entradas são Capital e Trabalho (pelo menos não até termos uma produção totalmente automatizada, onde você não precisa de um ser humano em nenhum lugar do processo de produção). Porque se um deles for 0 no mundo real, você não obterá saída.$x_i$$\frac{df}{dx_i}=\beta_i$$\frac{df}{dx_jdx_i}=0$$x_1$$x_2$

Essa consideração me levou a acreditar que os métodos de produção do seu modelo , o que implica que eles já contêm misturas de capital e trabalho. Nesse caso, você simplesmente otimizaria esses diferentes métodos de produção e escolheria o melhor. Aquele com a maior para custo. Porque, no nível da empresa, os custos marginais provavelmente seriam constantes.$x_1$$\beta_i$

Este é um modelo razoável, do ponto de vista das empresas. Você só pode escolher entre esses métodos de produção, para que o fato de você juntar capital e trabalho não seja do seu interesse. Você otimiza a função e escolhe o melhor método de produção, considerando os custos fixos. A simplificação (presumida) é que você não considera como a expansão ou a produção altera o custo marginal dentro de um método de produção.

(Se a expansão fosse em escala econômica, você aumentaria o salário dos trabalhadores empregando mais deles, o que em algum momento resultaria na escolha de um método de produção pesada com mais capital)

Os economistas abordam isso de um ângulo diferente: estão interessados ​​na razão Capital / Trabalho e não no método específico de produção. Eles querem uma função que tome Capital e Trabalho como insumo, selecione o melhor método de produção, dado esse insumo, e retorne um produto. Eles assumem que, nessa escala, existem muitos métodos diferentes de produção, que você pode escová-los e obter basicamente uma função contínua em Capital e Trabalho.

Eles querem um modelo que possua a propriedade fornecida pela função Cobb-Douglas.$\frac{df}{dx_jdx_i}>0$

Você está basicamente comparando simulação de partículas com simulação de fluidos. As equações para modelar uma única molécula de água serão diferentes da modelagem de um fluxo de água. E pode parecer que um não tem nada a ver com o outro.

A outra possibilidade em que pensei foi que essa função é realmente uma função de custo para produzir os resultados mas você tem um custo marginal fixo de por definição. Qual, novamente, é uma suposição razoável de ser feita no nível micro, mas não no nível macro.x $(x_1, ...,x_n)$$x_i$

A função de produção Cobb-Douglas é tão popular, apenas porque é uma das poucas funções para as quais você pode calcular explicitamente as funções de demanda de entrada (e fornecimento de saída). A função de produção Cobb-Douglas é geralmente usada no nível de bacharel (palestras, exames e exercícios) porque podemos resolver o sistema de condições de primeira ordem. No entanto, essa forma funcional é muito restritiva e sua validade é empiricamente rejeitada. De modo que, nos níveis mestres, reafirmamos a teoria microeconômica usando formas irrestritas para a função de produção (ver, por exemplo, o livro de Mas Colell et al.) E usamos o teorema da função implícita ou a teoria da dualidade para obter resultados estáticos comparativos.