Como posso obter a função de produção Leontief e Cobb-Douglas na função CES?

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Na maioria dos livros didáticos de Microeconomia, é mencionado que a função de produção de CES (elasticidade constante da substituição),

Q=γ[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

(onde a elasticidade da substituição é ), tem como limites a função de produção de Leontief e a de Cobb-Douglas. Especificamente,σ=11+ρ,ρ>1

limρQ=γmin{K,L}

e

limρ0Q=γKaL1a

Mas eles nunca fornecem a prova matemática para esses resultados.

Alguém pode fornecer essas provas?

Além disso, a função CES acima incorpora retornos constantes de escala (homogeneidade do grau um), devido ao expoente externo ser 1/ρ . Se fosse, digamos k/ρ , então o grau de homogeneidade seria k .

Como os resultados limitadores são afetados se k1 ?

Huseyin
fonte
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Esta parece ser uma pergunta lição de casa com nenhum esforço antes de resolvê-lo, consulte: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/...
FooBar
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É certamente um assunto no tópico, mas uma pergunta de baixa qualidade . Mesmo que isso não é lição de casa Huseyin, que esperamos de você: a) Tenha cuidado com a sua notação (você usou ρ e p ) e b) contribuir com alguns pensamentos e caminhos que você já tentou resolver o problema. Estamos aqui para ajudar as pessoas que se ajudam , e não para oferecer serviços profissionais pro bono.
Alecos Papadopoulos
2
A matemática faz as coisas de maneira diferente para praticamente todo o resto da rede de troca de pilhas. Somente no math.se você pode enviar problemas para outras pessoas resolverem sem mostrar esforço. Salve esse tipo de pergunta para math.se, não aqui.
EnergyNumbers
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Quando você diz "preciso provar" sem nenhuma indicação do motivo, é necessário que as pessoas assumam que isso é dever de casa.
precisa
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@Huseyin Agora que a pergunta foi reaberta e a resposta foi fornecida, você não publicará sua resposta para o limite de Cobb-Douglas?
Alecos Papadopoulos

Respostas:

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As provas que apresentarei são baseadas em técnicas relevantes para o fato de a função de produção CES ter a forma de uma média ponderada generalizada .
Isso foi usado no artigo original em que a função CES foi introduzida, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS e Solow, RM (1961). Substituição capital-trabalho e eficiência econômica. The Review of Economics and Statistics, 225-250.
Os autores referiram seus leitores ao livro Hardy, GH, Littlewood, JE & Pólya, G. (1952). Desigualdades , capítulo .2

Consideramos o caso geral

Qk=γ[aKρ+(1a)Lρ]kρ,k>0

γ1Qk=1[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ

1) Limite quandoρ
Como estamos interessados no limite quando podemos ignorar o intervalo para o qual , e deleite como estritamente positivo.ρρ0ρ

Sem perda de generalidade, assuma . Também temos . Em seguida, verificamos que a seguinte desigualdade é válida:KL(1/Kρ)(1/Lρ)K,L>0

(1a)k/ρ(1/Lk)γQk1(1/Lk)

(1)(1a)k/ρ(1/Lk)[a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)]kρ(1/Lk)

aumentando para o poder para obterρ/k

(2)(1a)(1/Lρ)a(1/Kρ)+(1a)(1/Lρ)(1/Lρ)
que de fato vale, obviamente, dadas as suposições. Volte ao primeiro elemento de e(1)

limρ(1a)k/ρ(1/Lk)=(1/Lk)

que imprime o termo do meio em a , então(1)(1/Lk)

(3)limρQk=γ1/Lk=γLk=γ[min{K,L}]k

Portanto, para , obtemos a função básica de produção Leontief.k=1

2) Limite quandoρ0
Escreva a função usando exponencial como

(4)γ1Qk=exp{kρln[a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1]}

Considere a expansão de Maclaurin de primeira ordem (expansão de Taylor centrada em zero) do termo dentro do logaritmo, com relação a :ρ

a(Kρ)1+(1a)(Lρ)1=a(K0)1+(1a)(L0)1a(K0)2K0ρlnK(1a)(L0)2L0ρlnL+O(ρ2)

=1ρalnKρ(1a)lnL+O(ρ2)=1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2)

Insira isso de volta em e livre-se do exponencial externo,(4)

γ1Qk=(1+ρ[lnKaL(1a)]+O(ρ2))k/ρ

Caso seja opaco, defina e reescrevar1/ρ

γ1Qk=(1+[lnKaL(1a)]r+O(r2))kr

Agora, parece uma expressão cujo limite no infinito nos dará algo exponencial:

limρ0γ1Qk=limrγ1Qk=(exp{lnKaL(1a)})k

limρ0Qk=γ(KaL1a)k

O grau de homogeneidade da função é preservado e, se , obtemos a função Cobb-Douglas.kk=1

Foi este último resultado que fez Seta e Co para chamar parâmetro de "distribuição" da função CES.a

Alecos Papadopoulos
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O método regular de obtenção de Cobb-Douglas e Leotief é a regra de L'Hôpital .

Outros métodos também devem ser usados. A configuração será retornada e Por A derivada total via diferenciais teremos Com algumas manipulações, nossa equação principal será obtida.γ=1Q=[aKρ+(1a)Lρ]1ρ

Qρ=[aKρ+(1a)Lρ]
ρQρ1dQ=aρKρ1dK(1a)ρLρ1dL

dQ=a(QK)1+ρdK+(1a)(QL)1+ρdL

Função Linear :limρ1dQQ=aK+(1a)L

Função Cobb-Douglas : Tomando o Integral de ambos os lados produziria

limρ0dQ1QdQ=a(1K)dK+(1a)(1L)dL

1QdQ=a(1K)dK+(1a)(1L)dL

Q=KaL(1a)eC=AKaL(1a)

Função Leontief :limρdQmin(aK,(1a)L)

Huseyin
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(+1) Gosto especialmente de como a função Cobb-Douglas é obtida.
Alecos Papadopoulos
Obrigado @AlecosPapadopoulos. mas não sei por que alguém ainda não gosta deste post? Acho que esse tipo de pergunta pode causar tempestade cerebral pelo menos para mim.
quer
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Estritamente falando Huseyin, eles estão certos: você deveria ter incluído pelo menos parte de sua resposta em sua pergunta : "aqui está a minha maneira de fazer as coisas, existe alguma outra maneira?"
Alecos Papadopoulos
Está pegando um diferencial e integrando "equivalente" a pegar um limite? Em geral, podemos pegar o diferencial e integrar para encontrar um limite? Ou esse é um aplicativo especial?
PGupta