Conceitos topológicos em teoria econômica

16

PERGUNTA: Quais são as aplicações principais ou sistemáticas da matemática pós-década de 1960 na microeconomia?

Por exemplo, no final do século 19, Fisher usou pela primeira vez as idéias matemáticas de Gibbs para construir a teoria da utilidade moderna. No século 20, Mas-Colell incorporou idéias topológicas para estudar o equilíbrio geral. E o final do século 20, início do século 21?

Por exemplo, considere a teoria dos grafos direcionados, a teoria das medidas, a topologia, a teoria das categorias e a homologia ou cohomologia moderna, os métodos topos, a integração funcional etc.

Nota 1 : econometria / estatística, sem modelagem, está excluída. A única matemática moderna usada lá é a teoria da caminhada aleatória e o problema ergódico, resolvido através de análises complexas. RW e EP não são específicos para economia.

Qualquer publicação econômica apropriada é uma resposta. Isso incluiu também aqueles publicados em revistas não estritamente econômicas, por exemplo, o Journal of Mathematics Psychology .

Nota 2 : Sim, eu sei, esse tipo de trabalho é mais raro (não deve ser confundido com obscuridade: algumas são bem conhecidas). É isso que torna mais fácil a falta dessa referência quando ela é publicada. Daí a questão.


fonte
Penso que a maior parte deste tipo de pesquisa foi relegada ao Journal of Mathematics Economics no caso da Micro. Na econometria, muitas análises funcionais estão sendo usadas, nos principais periódicos, mas com topologia pura um pouco menos. Dias passados ​​de Hildenbran, Kannai, MasColell, Debreu, Chichilnisky, Anderson e Arrow.
user157623
11
Estou votando para fechar como muito amplo. Não está muito claro para mim exatamente o que você gostaria de incluir ou excluir e o que motiva esses critérios.
Jyotirmoy Bhattacharya
2
O título é mais conciso do que o corpo da pergunta, onde o foco se amplia dramaticamente. Talvez você deva considerar refazer o corpo da questão.
Alecos Papadopoulos
@GuidoJorg Que tal simplesmente "Quais são as principais aplicações da matemática pós-década de 1960 na microeconomia?" Para mim, as referências a Mas-Colell e Fisher e as muitas exclusões nas perguntas tornam mais difícil decidir o que qualificaria como resposta.
Jyotirmoy Bhattacharya,
11
Feito. A questão está melhor estruturada agora?

Respostas:

13

Eu suspeito fortemente que uma área importante emergente para aplicações da teoria de medidas esteja nas técnicas aproximadas de programação dinâmica. A programação dinâmica aproximada (também conhecida como "aprendizado por reforço" na literatura de ciência da computação) tem sido a direção do trabalho de pesquisa nos últimos 10 a 20 anos da literatura de programação dinâmica. Só agora a economia está começando a adotar alguns desses avanços. Por exemplo, a direção da literatura de DP, veja a mais recente expansão da 4ª edição de Bertsekas de sua série de programação dinâmica, ou o DP aproximado de Powell : resolvendo a maldição da dimensionalidade. Os economistas estão começando a pegar algumas dessas ferramentas, direta e indiretamente, e suspeito que eles terão um impacto crescente na literatura nos próximos anos. Alguns dos antecedentes analíticos para convergência desses métodos são topologia e sistemas dinâmicos.

Um bom exemplo de contribuição teórica dos economistas para este tipo de literatura é Pál e Stachurski (2013), Iteração de Função de Valor Ajustado com Contrações de Probabilidade Um (versão sem porta aqui ). Leia esse artigo e você pode ver a importância de uma boa compreensão da teoria da medida. O livro Economic Dynamics de Stachurski é, na verdade, uma exposição muito boa de programação dinâmica a partir dessa perspectiva, construindo em um ritmo que funciona para vários níveis de estudante / profissional de graduação (a teoria da medida entra formalmente no final, acredito - eu ainda estou trabalhando para essas idéias).

Espero que isso responda à sua pergunta até certo ponto. Receio que a frase "matemática pós-década de 1960" seja um tanto ambígua para mim (devido à minha própria falta de conhecimento da história da literatura matemática), por isso, se perdi completamente o alvo, minhas desculpas!

CompEcon
fonte
11
Estou acompanhando o livro de Stachurski :) Responderei em mais ou menos um dia.
11
@GuidoJorg: Folheei Stachurski para lhe dar algumas indicações para lugares específicos, e percebi que eu tinha um peido de cérebro - estava pensando em aplicações da teoria da medida , não topologia . Editou a resposta para refletir isso. Me desculpe! Deixe-me saber se Q ainda atender sua pergunta (parece que com a sua edição, mas queria verificar!). Além disso, gostaria de observar que isso é tecnicamente, geralmente, aplicativos em macro (mas acho que essa linha estará desfocada à medida que alguns desses métodos avançam).
CompEcon
11
A teoria da medida está boa :) BTW, eu peguei o livro. Também encontrei algumas outras monografias recentes que parecem relacionadas, e uma sobre topologia. Olhando através deles e estará de volta com feedback, aceitar a resposta, etc.
11
Eu gosto do livro de Stachurski. Ele se compara bem a outra literatura recente sobre economia matemática: acabei de terminar com outros livros 1990-2010 que afirmavam ser contribuições teóricas matematicamente modernas (lidando com equilíbrio geral incompleto dos mercados, sensibilidade às condições iniciais, investimento em tecnologia etc.); mas eram quase todas variantes bastante decepcionantes dos modelos keynsianos padrão, com os problemas usuais de tais modelos, e todos aplicavam matemática, se é que era, superficialmente e não muito elegante.
8

Isso foi muito longo para comentar. "Pós 1960" parece uma barra arbitrária e muito alta para um campo aplicado, incluindo a micro teoria. A maioria dos tópicos que você nomeia não seria considerada matemática contemporânea. Por exemplo, a teoria da medida começou com a tese de Lebesgue e tem mais de um século. A topologia é ainda mais antiga e começou com Poincare, que introduziu grupos de homologia. Ambos são ensinados aos estudantes de graduação hoje, como cálculo. (A matemática usada por Mas-Colell et al. Na GE é análise, e não topologia.)

A externalidade dos programas de pesquisa que conduzem a matemática moderna desde meados do século XX à comunidade aplicada é indireta, na melhor das hipóteses. O ponto de vista e as técnicas motivadas por, por exemplo, geometria não comutativa, programa de Langland, conjectura de Poincare, conjectura de Baum-Connes, conjectura primária dupla (medalhas Fields foram concedidas após 1960 por progresso nesses problemas), etc. --- provavelmente nunca será visto fora da matemática. As finanças matemáticas, é claro, continuam sendo matemáticas, mas isso é bastante afastado do ponto de vista econômico.

Edit Acontece que, abordando sua pergunta diretamente, houve aplicações da topologia à teoria da escolha social, iniciada por Chichilnisky, et. al. Aqui está um artigo do JET sobre o tópico por um topologista:

http://math.uchicago.edu/~shmuel/TSC.pdf .

Talvez alguém com experiência em topologia possa comentar mais.

Michael
fonte
5

Os espaços Loeb foram usados ​​para modelar situações com um continuum de agentes. Veja http://eml.berkeley.edu/~anderson/Book.pdf e os capítulos da Sun sobre aplicações econômicas no livro Análise não padronizada para o matemático que trabalha .

Jyotirmoy Bhattacharya
fonte
2
Eu acho que é salvo dizer que os espaços Loeb estão um pouco desatualizados para modelar um continuum de agentes. Para uma perspectiva moderna, consulte graduado.math.nus.edu.sg/~g0800878/HSS.pdf
Michael Greinecker
1

Ao lado do trabalho de Chichilnisky mencionado por Michael, outro uso interessante da topologia na teoria da escolha social aparece no trabalho de Redekop no teorema de Arrow sobre domínios econômicos.

  • Redekop, J. (1991). O bem-estar social funciona em domínios econômicos restritos. Journal of Economic Theory, 53, 396-427.
  • Redekop, J. (1993a). Domínios econômicos inconsistentes com flechas. Escolha Social e Bem-Estar, 10, 107–126.
  • Redekop, J. (1993b). A topologia do questionário em alguns espaços de preferências econômicas. Jornal de Economia Matemática, 22, 479-494.
  • Redekop, J. (1993c). O bem-estar social funciona em domínios paramétricos. Escolha Social e Bem-Estar, 10, 127-148.
  • Redekop, J. (1995). Teoremas da seta em ambientes econômicos. Em WA Barnett, H. Moulin, M. Salles e NJ Schofield (Eds.), Escolha social, bem-estar e ética (pp. 163-185). Cambridge: Cambridge University Press.
  • Redekop, J. (1996). Teoremas da seta em ambientes econômicos mistos, estocásticos e dinâmicos. Escolha social e bem-estar, 13, 95–112.

O teorema da impossibilidade de Arrow foi originalmente provado para um conjunto abstrato de alternativas, permitindo todo perfil de preferência possível sobre esse conjunto de alternativas. A pergunta que Redekop (e outros) fez foi: existe um equivalente ao teorema de Arrow quando as alternativas são feixes de bens, e o agente tem preferências "clássicas" sobre esses bens (monotônicos, convexos, contínuos, egoístas, ...).

Mais precisamente, a questão era se haveria uma função de bem-estar social que satisfizesse os três axiomas arrovianos (Independência de alternativa irrelevante, Pareto fraco e não-ditadura) nesses domínios econômicos (ver Le Breton, Michel e John A. Weymark. " Capítulo Dezessete-Arroviana, Teoria da Escolha Social em Domínios Econômicos. "Manual de escolha social e bem-estar 2 (2011): 191-299 para uma ótima revisão, na qual esta resposta se baseia).

Grosso modo, o trabalho de Redekop mostra que, para alguns desses problemas econômicos, se um domínio de preferências admite uma função de bem-estar social arroviana, o domínio deve ser "pequeno" em algum sentido topológico. Por exemplo, em Redekop (1991), ele introduz uma topologia engenhosa em conjuntos de preferências que ele apelidou de topologia de questionário e mostra que, em uma economia de bens públicos, se um domínio de preferências admite uma função de bem-estar social arroviana, então o domínio deve não seja denso em nenhum lugar de acordo com esta topologia (ou seja, o fechamento do domínio não contém um conjunto aberto).

Martin Van der Linden
fonte